Если удастся найти
c
=
c
, для которого существует решение
η
(
t
)
гра-
ничной задачи (21), получим, что функция
B
(
t
) =
b
(
t
) +
c d
(
t
)
удо-
влетворяет всем условиям
теоремы 1
и, следовательно, терминальная
задача (8), (9) для системы (7) имеет решение.
Далее будем считать, что в системе (7) функция
q
(
z, η
)
является
произведением функций
Q
(
z
)
и
R
(
η
)
, причем
R
(
η
)
не обращается в
нуль в
R
. Такая система имеет вид
˙
z
1
=
z
2
˙
z
2
=
z
3
. . .
˙
z
n
−
1
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u
˙
η
=
Q
(
z
)
R
(
η
)
.
(22)
Для системы (22) граничная задача (21) преобразуется к виду
˙
η
=
Q
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
R
(
η
)
, η
(0) =
η
0
, η
(
t
k
) =
η
k
.
(23)
Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными на отрез-
ке
[0
, t
k
]
и учитывая начальные и конечные значения переменной
η
,
получим
η
k
Z
η
0
dη
R
(
η
)
=
t
k
Z
0
Q
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
dt.
(24)
Уравнение (24) представляет собой уравнение для определения не-
известной константы
c
. Пусть это уравнение имеет решение
c
=
c
.
Найденному значению
c
=
c
будет соответствовать решение
η
(
t
)
гра-
ничной задачи (23) в том случае, если уравнение
η
Z
η
0
dη
R
(
η
)
=
t
Z
0
Q
(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
dt
разрешимо относительно
η
для всех
t
2
[0
, t
k
]
.
Таким образом, для существования решения терминальной задачи
достаточно выполнения двух условий:
1) существования решения
c
=
c
уравнения (24),
2) разрешимости уравнения (23) относительно
η
при всех
t
2
[0
, t
k
]
.
Пусть в системе (22) функция
Q
(
z
)
представима в виде
Q
(
z
) =
Q
1
(
z
1
)
Q
2
(
z
) +
Q
3
(
z
)
, z
= (
z
1
, . . . , z
n
−
1
)
т
,
(25)
где функции
Q
1
(
z
1
)
2
C
(R)
,
Q
2
(
z
)
2
C
(R
n
−
1
)
,
Q
3
(
z
)
2
C
(R
n
−
1
)
и
удовлетворяют следующим условиям:
lim
z
1
→
+
∞
Q
1
(
z
1
) = +
∞
,
lim
z
1
→−∞
Q
1
(
z
1
) =
−∞
,
(26)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
17
