удовлетворяющее условиям
z
1
(0) =
z
10
, z
2
(0) =
z
20
, . . . , z
n
−
1
(0) =
z
n
−
1
,
0
,
z
1
(
t
k
) =
z
1
k
, z
2
(
t
k
) =
z
2
k
, . . . , z
n
−
1
(
t
k
) =
z
n
−
1
,k
,
(15)
η
(0) =
η
0
,
η
(
t
k
) =
η
k
.
(16)
Обозначим
B
(
t
)
≡
z
1
(
t
)
. Из первых
n
−
2
уравнений системы (14)
следует, что
˙
B
(
t
)
≡
z
2
(
t
)
, . . . , B
(
n
−
2)
(
t
)
≡
z
n
−
1
(
t
)
.
Так как
z
1
(
t
)
,
. . .
,
z
n
−
1
(
t
)
удовлетворяют условиям (15), функция
B
(
t
)
удовлетворяет условиям (10).
Осталось показать, что существует решение задачи Коши (11) и это
решение удовлетворяет условию (12). В соответствии с принятыми
обозначениями и условиями (16) этим решением является функция
η
(
t
)
.
Таким образом, согласно
теореме 1
, чтобы убедиться в существо-
вании решения терминальной задачи (8), (9) для системы (7), доста-
точно найти функцию
B
(
t
)
, удовлетворяющую указанным в теореме
условиям. Предложим следующий способ поиска этой функции.
Пусть функция
b
(
t
)
2
C
n
−
1
([0
, t
k
])
и выполнены условия
b
(0) =
z
10
,
˙
b
(0) =
z
20
, . . . , b
(
n
−
2)
(0) =
z
n
−
1
,
0
,
b
(
t
k
) =
z
1
k
,
˙
b
(
t
k
) =
z
2
k
, . . . , b
(
n
−
2)
(
t
k
) =
z
n
−
1
,k
(17)
В качестве такой функции всегда можно взять интерполяционный мно-
гочлен степени
2
n
−
3
. Будем искать
B
(
t
)
из
теоремы 1
в виде
B
(
t
) =
b
(
t
) +
c d
(
t
)
,
(18)
где
c
— пока не известная константа, функция
d
(
t
)
удовлетворяет усло-
виям
d
(0) = 0
,
˙
d
(0) = 0
, . . . , d
(
n
−
2)
(0) = 0
,
d
(
t
k
) = 0
,
˙
d
(
t
k
) = 0
, . . . , d
(
n
−
2)
(
t
k
) = 0
.
(19)
В качестве такой функции можно взять любой многочлен, для которого
выполняются соотношения (19), например
d
(
t
) =
t
n
−
1
(
t
k
−
t
)
n
−
1
.
(20)
При любых значениях
c
функция
B
(
t
)
вида (18) удовлетворяет
условиям (10). Обозначим
b
(
t
) = (
b
(
t
)
,
˙
b
(
t
)
, . . . , b
(
n
−
2)
(
t
))
т
,
d
(
t
) = (
d
(
t
)
,
˙
d
(
t
)
, . . . , d
(
n
−
2)
(
t
))
т
,
так что
B
(
t
) =
b
(
t
) +
c d
(
t
)
. Тогда задача Коши (11) с учетом усло-
вия (12) преобразуется к граничной задаче
˙
η
=
q
(
b
(
t
) +
c d
(
t
)
, η
)
, η
(0) =
η
0
, η
(
t
k
) =
η
k
.
(21)
16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
