В силу свойств исходной функции распределения,
F
н
(
x
)
является
непрерывной неубывающей функцией. Для
F
c
(
x
)
и
F
н
(
x
)
имеют место
следующие предельные соотношения:
lim
x
→∞
F
c
(
x
) =
m
X
ν
=1
c
ν
,
lim
x
→∞
F
н
(
x
) =
a
н
= 1
−
m
X
ν
=1
c
ν
,
(10)
так как
lim
x
→∞
F
0
(
x
) = 1
.
Чтобы получить необходимые расчетные соотношения для вычи-
сления
n
-кратной свертки, воспользуемся преобразованием Лапласа
исходной функции распределения
F
0
(
x
)
и ее составляющих:
˜
F
0
(
p
) =
∞
Z
0
e
−
px
F
0
(
x
)
dx,
˜
F
c
(
p
) =
∞
Z
0
e
−
px
F
c
(
x
)
dx,
˜
F
н
(
p
) =
∞
Z
0
e
−
px
F
н
(
x
)
dx.
(11)
Далее воспользуемся известным свойством преобразования Лапла-
са [4, гл. 2, п. 9], по которому свертке оригиналов в пространстве
изображений соответствует произведение изображений свертываемых
функций. С привлечением данного свойства рекуррентная процедура
(5) в терминах изображений записывается следующим образом:
˜
F
(1)
0
(
p
) = ˜
F
0
(
p
)
,
˜
F
(
k
)
0
(
p
) = ˜
F
(
k
−
1)
0
(
p
)
p
˜
F
0
(
p
)
, k
= 2
,
3
, . . . , n.
)
(12)
Полученные рекуррентные соотношения могут быть разрешены в
замкнутой форме
˜
F
(
k
)
0
(
p
) =
p
k
−
1
h
˜
F
0
(
p
)
i
k
, k
= 1
,
2
, . . . ,
(13)
в частности, при
k
=
n
имеем
˜
F
(
n
)
0
(
p
) =
p
n
−
1
h
˜
F
0
(
p
)
i
n
.
(13a)
С другой стороны, в силу формулы (9) изображение функции рас-
пределения
˜
F
0
(
x
)
может быть записано как
˜
F
0
(
p
) = ˜
F
н
(
p
) + ˜
F
с
(
p
)
.
(14)
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
