Трудности здесь возникают при больших значениях
k
. Однако, как
показывают многочисленные компьютерные эксперименты, в случае
непрерывных функций распределения можно эффективно пользовать-
ся предельными теоремами для сумм независимых случайных вели-
чин, когда число слагаемых
n
в формуле (3) невелико. В частности,
при непрерывной функции распределения ее
15
. . .
20
-кратная свертка
достаточно хорошо описывается в классе безгранично-делимых функ-
ций распределения, в качестве которых удобно использовать гамма-
распределение или нормальный закон. Чтобы воспользоваться пре-
дельными теоремами для суммы независимых одинаково распреде-
ленных случайных величин, будем, наряду с непрерывной составля-
ющей
F
н
(
x
)
исходной функции распределения
F
0
(
x
)
, рассматривать
нормированную функцию
F
н0
(
x
)
, которую определим как
F
н0
(
x
) =
1
a
н
F
н
(
x
)
,
(28)
где
a
н
определяется из предельных соотношений (10).
Полученная таким образом монотонно неубывающая непрерывная
функция
F
н0
(
x
)
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к
функциям распределения (стремится к нулю при
x
→ −∞
; стремится
к единице, если
x
→ ∞
; является неубывающей функцией).
Один из фундаментальных результатов теории вероятностей [3,
гл. 9, п. 48] состоит в том, что сумма достаточно большого числа
независимых случайных величин при выполнении так называемого
условия Линдеберга описывается в классе безгранично-делимых за-
конов распределения. С практической точки зрения в качестве такого
безгранично-делимого закона удобно выбирать нормальный закон рас-
пределения или гамма-распределение.
В случае нормального закона распределения математическое ожи-
дание и дисперсия суммы
k
независимых случайных величин, каждая
из которых описывается функцией распределения
F
н0
(
x
)
, равны
m
k
=
km
0
,
D
k
=
kD
0
,
)
(29)
где
m
0
=
∞
Z
0
xdF
н0
(
x
) =
X
min
Z
0
xdF
н0
(
x
) =
X
min
−
X
min
Z
0
F
н0
(
x
)
dx,
D
0
=
∞
R
0
x
2
dF
н0
(
x
)
−
m
2
0
=
X
min
Z
0
x
2
dF
н0
(
x
)=
X
2
min
−
2
X
min
Z
0
xF
н0
(
x
)
dx
−
m
2
0
;
(30)
114
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
