разложения (16) имеет вид
C
k
n
p
k
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
∙
p
˜
F
c
(
p
)
∙
p
˜
F
c
(
p
)
∙
. . .
∙
p
˜
F
c
(
p
)
|
{z
}
n
−
k
сомножителей
.
Приведенные выше соображения относительно
n
-кратной свертки
F
(
n
)
н
(
x
)
позволяют утверждать, что оригинал изображения
p
k
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
есть не что иное как
k
-кратная свертка непрерывной составляющей
F
н
(
x
)
, т.е.
L
−
1
p
k
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
=
F
(
k
)
н
(
x
)
.
(24)
Далее, последовательное умножение изображения
p
k
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
на
pF
c
(
p
)
соответствует в пространстве оригиналов операции свертыва-
ния вида
W
k,i
+1
(
x
) =
x
Z
0
W
k,i
(
x
−
y
)
dF
c
(
y
)
, i
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
1)
,
(25)
причем
W
k,
0
(
x
) =
F
(
k
)
н
(
x
)
.
Применяя формулы (20) в предположении
W
k,i
(
x
)
≡
0
при
x <
0
8
i
, получаем рекуррентные соотношения вида
W
k,i
+1
(
x
) =
m
X
ν
=1
c
ν
W
k,i
(
x
−
x
ν
)
, i
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
k
−
1
,
W
k,
0
(
x
) =
F
(
k
)
н
(
x
)
.
(26)
Отметим, что формулы (26) должны использоваться для
k
, удо-
влетворяющих условию
0
< k < n
, или, что то же самое, когда
1
≤
k
≤
n
−
1
. Соответствующие вычисления для предельных зна-
чений
k
, т.е.
k
= 0
и
k
=
n
, приведены выше.
Итак, оригиналом
k
-го слагаемого в разложении (16) служит функ-
ция
˜
F
k,n
−
k
(
x
)
, рассчитываемая в зависимости от значения индекса
k
:
— с помощью процедуры (20), если
k
= 0
;
— по формуле (23), если
k
=
n
;
— с помощью процедуры (26), если
1
≤
k
≤
n
−
1
.
Объединяя полученные результаты, получаем следующее выраже-
ние искомой
n
-кратной свертки исходной функции
F
0
(
x
)
:
F
(
n
)
0
(
x
) =
C
0
n
Z
0
,n
(
x
) +
n
−
1
X
k
=1
C
k
n
W
k,n
(
x
) +
C
n
n
V
n,
0
(
x
)
.
(27)
В описанной процедуре наиболее сложным элементом является
вычисление
k
-кратной свертки непрерывной составляющей
F
(
k
)
н
(
x
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
113
