Далее воспользуемся известным свойством интеграла Стилтьеса
[5, гл. 8, п. 6, cтр. 253]
x
Z
0
G
(
x
−
y
)
dh
(
y
−
a
) =
G
(
x
−
a
)
,
(19)
где
G
(
x
)
— произвольная непрерывная функция;
h
(
∙
)
— функция Хе-
висайда вида (2);
a
— точка внутри интервала интегрирования
(0
, x
)
.
Чтобы воспользоваться формулой (19) для дальнейших вычисле-
ний, следует предположить возможность ее распространения на раз-
рывные функции
G
(
x
)
. Для этого достаточно предположить возмож-
ность удовлетворительной с практической точки зрения аппроксима-
ции разрывной функции
G
(
x
)
в классе непрерывных функций.
Полагая, что такая аппроксимация выполнена для функции
Z
0
,i
(
x
)
,
найдем выражение
Z
0
,i
+1
(
x
)
с привлечением формул (18) и (19). Имеем
Z
0
,i
+1
(
x
) =
m
X
ν
=1
c
ν
Z
0
,i
(
x
−
x
ν
)
, i
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
1
,
Z
0
,
0
(
x
) =
F
c
(
x
)
,
(20)
где
x
ν
— координаты скачков, а
c
ν
— величины скачков ступенчатой
функции
F
c
(
x
)
(8).
Циклически выполняя вычисления по формуле (20), находим функ-
цию
Z
0
,n
(
x
)
. Возвращаясь к выражению (17) и полагая
k
=
n
, полу-
чаем
C
n
n
p
n
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
n
=
C
n
n
∙
˜
F
н
(
p
)
∙
p
˜
F
н
(
p
)
∙
p
˜
F
н
(
p
)
∙
. . .
∙
p
˜
F
н
(
p
)
|
{z
}
n
−
1
сомножителей
.
(21)
Нетрудно видеть, что операции умножения на
p
˜
F
н
(
p
)
в формуле
(21) соответствует операция свертывания вида
V
i
+1
,
0
(
x
) =
x
Z
0
V
i,
0
(
x
−
y
)
dF
н
(
y
)
, i
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
1
,
(22)
причем
V
0
,
0
(
x
) =
F
н
(
x
)
.
Таким образом, имеем
V
n,
0
(
x
) =
F
(
n
)
н
(
x
)
,
(23)
где
F
(
n
)
н
(
x
)
обозначена
n
-кратная свертка непрерывной составляющей
F
н
(
x
)
исходной функции распределения
F
0
(
x
)
.
Наконец, обратимся к вычислению оригинала
k
-го слагаемого в
разложении (16),
0
< k < n
. В силу формулы (17a)
k
-е слагаемое
112
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
