Подставляя выражение (14) в (13a) и привлекая соотношение (6),
запишем формулу для изображения по Лапласу искомой функции рас-
пределения
ˉ
F
(
x
)
:
L
ˉ
F
(
x
) = ˜ˉ
F
(
p
) =
p
n
−
1
h
˜
F
0
(
p
)
i
n
=
p
n
−
1
h
˜
F
н
(
p
) + ˜
F
с
(
p
)
i
n
.
(15)
Выражение (15) преобразуем, воспользовавшись формулой бинома
Ньютона
˜ˉ
F
(
p
) =
p
n
−
1
n
X
k
=0
C
k
n
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
h
˜
F
н
(
p
)
i
n
−
k
,
(16)
где
C
k
n
=
n
!
k
!
∙
(
n
−
k
)!
— биномиальные коэффициенты (принимается,
как обычно,
0! = 1
).
Внесем множитель
p
n
−
1
под знак суммы и преобразуем
k
-е слага-
емое в формуле бинома Ньютона (16) следующим образом:
C
k
n
p
n
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
h
˜
F
с
(
p
)
i
n
−
k
=
=
C
k
n
p
k
−
1
h
˜
F
н
(
p
)
i
k
h
p
˜
F
с
(
p
)
i
n
−
k
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . , n.
(17)
Рассмотрим алгоритм вычисления оригиналов, соответствующих
изображениям (17). Сначала найдем оригиналы, соответствующие
предельным значениям
k
= 0
и
k
=
n
.
При
k
= 0
имеем
C
(0)
n
1
p
h
p
˜
F
с
(
p
)
i
n
=
C
(0)
n
1
p
p
˜
F
с
(
p
)
∙
p
˜
F
с
(
p
)
∙
. . .
∙
p
˜
F
с
(
p
)
|
{z
}
n
сомножителей
.
(17a)
В качестве оригинала изображения
1
p
∙
p
˜
F
с
(
p
) = ˜
F
с
(
p
)
естественно
принять
F
с
(
x
)
.
Каждому умножению на
p
˜
F
с
(
p
)
в пространстве оригиналов соот-
ветствует операция свертывания вида
Z
0
,i
+1
(
x
) =
x
Z
0
Z
0
,i
(
x
−
y
)
dF
с
(
y
)
, i
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
1)
,
Z
0
,
0
(
x
) =
F
с
(
x
)
.
(18)
Предполагая, что
Z
0
,i
(
x
)
,
i
= 1
,
2
, . . . , n
−
1
, представляют собой
или функции распределения или их составляющие, будем считать, что
Z
0
,i
(
x
)
≡
0
, если
x <
0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
111
