с векторными критериями на основе методов недифференцируемой
оптимизации.
Постановка задачи.
Пусть заданы функции
f
i
(
x
)
,
i
= 1
,
2
, . . . , m
,
x
2
R
n
, образующие векторный критерий
f
(
x
) = (
f
i
(
x
)
, . . . , f
m
(
x
))
некоторой многокритериальной задачи оптимизации при ограничени-
ях
x
2
X
=
x
2
R
n
g
j
(
x
)
≤
0
, j
2
J
, где
x
— вектор переменных
управления,
g
j
(
x
)
— функции ограничений,
J
def
=
{
j
|
j
= 1
, . . . , k
}
. Бу-
дем рассматривать задачу векторной оптимизации в предположении,
что частные критерии и функции ограничений являются непрерыв-
ными и не всюду дифференцируемыми. В соответствии с работой [7]
введем следующие определения.
Определение 1.
Решение
x
0
называется
слабо эффективным
(
эф-
фективным
или
Парето-оптимальным
), если не существует такого
x
1
6
=
x
0
, что
f
(
x
1
)
<
(
≤
)
f
(
x
0
)
.
Определение 2.
Решение
x
0
называется
собственно эффективным
(
оптимальным по Джоффриону
[7]), если оно эффективное и суще-
ствует такое положительное число
θ
, что для любого
i
= 1
,
2
, . . . , m
и тех
x
2
X
, для которых выполнено неравенство
f
i
(
x
0
)
> f
i
(
x
)
, и
некоторого
ν
2 {
1
,
2
, . . . , m
}
такого, что
f
ν
(
x
0
)
< f
ν
(
x
)
, выполняется
неравенство
f
i
(
x
0
)
−
f
i
(
x
)
f
ν
(
x
)
−
f
ν
(
x
0
)
≤
θ.
Построим алгоритм решения рассматриваемой задачи, реализу-
ющий вариант метода линеаризации для задач многокритериальной
оптимизации [8]. Для каждой функции, представляющей частный кри-
терий или функцию ограничений, введем двухпараметрическую сгла-
живающую аппроксимацию, предложенную в работе [9].
Аппроксимация критериальных функций.
Пусть требуется
обеспечить
f
(
x
)
→
min
, x
2
X
R
n
,
где
X
— допустимое множество, а действительная функция
f
:
R
n
→
R
определяется следующим образом:
f
(
x
) = max
x
2
X
R
n
{
ϕ
i
(
x
)
}
, i
2
I
def
=
{
1
, ..., m
}
.
Задачи, формулируемые в минимаксной форме, относятся к классу
недифференцируемых задач оптимизации [6,10]. Поэтому для их ре-
шений применяются специальные методы. Рассматриваемый подход
основан на построении сглаживающих аппроксимаций критериаль-
ных функций и функций ограничений с последующим применением
эффективных методов, разработанных для задач дифференцируемой
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
