X
i
2
I
u
i
= 1
,
(7)
w
(
x
) +
X
i
2
I
u
i
r
˜
f
i
(
p, q, x
) +
X
j
2
J
v
j
r
˜
g
j
(
p, q, x
) = 0
.
(8)
Решением двойственной к уравнению (4) задачи являются неко-
торые функции
u
i
(
x
)
и
v
j
(
x
)
; исходя из уравнения (8) вектор
w
(
x
)
может быть представлен так:
w
(
x
) =
−
X
i
2
I
u
i
(
x
)
r
˜
f
i
(
p, q, x
)
−
X
j
2
J
v
j
(
x
)
r
˜
g
j
(
p, q, x
)
.
Дальнейшее построение алгоритма связано с использованием ряда
оценок изменений сглаживающих аппроксимаций функций
˜
f
i
(
p, q, x
)
,
i
2
I
, и
˜
g
j
(
p, q, x
)
,
j
2
J,
при сдвигах вдоль направлений, определяе-
мых решением задачи (4).
Итак, для
i
2
I
окончательно имеем
˜
f
i
(
p, q, x
+
αw
)
≤
≤
˜
f
i
(
p, q, x
) +
α
X
j
2
J
v
j
˜
g
j
(
p, q, x
)
− k
w
k
2
+
α
2
L
k
w
k
2
;
(9)
здесь
0
≤
α
≤
1
. Теперь
m
неравенств типа (9) можно заменить одним:
max
i
2
I
n
˜
f
i
(
p, q, x
+
αw
)
−
˜
f
i
(
p, q, x
)
o
≤
≤
α
X
j
2
J
v
j
˜
g
j
(
p, q, x
)
− k
w
k
2
+
α
2
L
k
w
k
2
.
(10)
Для сглаженных функций ограничений
˜
g
j
(
p, q, x
)
,
j
2
J
, остается
справедливой оценка общего метода линеаризации [10]:
˜
g
j
(
p, q, x
+
αw
)
6
(1
−
α
) ˜
G
(
p, q, x
) +
α
2
L
k
w
k
2
.
(11)
Из соотношений (10), (11) следует неравенство
max
i
2
I
n
˜
f
i
(
p, q, x
+
αw
)
−
˜
f
i
(
p, q, x
)
o
+
N
˜
G
(
p, q, x
+
αw
)
≤
≤
N
˜
G
(
p, q, x
) +
α
X
j
2
J
v
j
˜
g
j
(
p, q, x
)
−
N
˜
G
(
p, q, x
)
− k
w
k
2
+
+
α
(
N
+ 1)
L
k
w
k
2
.
Кроме того, если
0
6
α
6
1
−
ε
(1 +
N
)
L
,
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
