оптимизации. Необходимо дать оценку точности вводимых аппрок-
симаций. Следует отметить, что применительно к задачам динамики
механических и гидромеханических систем процедура сглаживания
является корректной и не приводит к потере существенной информа-
ции [9]. Преимуществом является также возможность создания эффек-
тивного программного обеспечения, позволяющего оперативно полу-
чать решения с приемлемой для практики точностью. Цель работы
состоит в замене каждой недифференцируемой функции некоторой ее
аппроксимацией, которая была бы выпуклой и дифференцируемой в
области допустимых значений переменных управления. При возраста-
нии точности аппроксимации функций приближенное решение задачи
должно сходиться к точному.
Предварительно удобно рассмотреть простейший случай — одно-
мерную функцию вида [9]
γ
(
x
) = max
x
2
X
R
{
0
, x
}
=
(
0
, x
6
0
,
x, x >
0
.
(1)
Существенно то, что в точке
x
= 0
данная функция дифференциру-
ема только по направлению. Возможен следующий подход: на число-
вой оси выделяется отрезок
[
p, q
]
, содержащий точку, в которой функ-
ция
γ
(
x
)
имеет указанную особенность, и на этом отрезке исходная
функция заменяется некоторой приближенной функцией, выпуклой и
дифференцируемой в каждой точке по построению.
Пусть выбраны числа
p <
0
и
q >
0
. Вводится двухпараметриче-
ская аппроксимация функции, представленной в виде (1)
˜
γ
(
p, q, x
) =
0
, x
6
p,
s
(
p, q, x
)
, p
≤
x
≤
q
;
x, x
≥
q.
(2)
Здесь
p, q
— параметры аппроксимации, определяющие соответственно
левую и правую границы отрезка
[
p, q
]
, на котором задана сглажива-
ющая функция
s
(
p, q, x
)
. Из сравнения соотношений (1) и (2) видно,
что приближенная функция
˜
γ
(
p, q, x
)
совпадает с исходной функцией
γ
(
x
)
всюду, за исключением отрезка
[
p, q
]
. Потребуем, чтобы функция
s
(
p, q, x
)
была выпуклой и по крайней мере один раз дифференцируе-
мой на
[
p, q
]
. Указанными свойствами обладает, например, дуга кривой,
описываемой уравнением второй степени:
a
11
x
2
+ 2
a
12
xs
+
a
22
s
2
+ 2
a
13
x
+ 2
a
23
s
+
a
33
= 0
.
Обозначим
a
α
=
−
p/q
, тогда
s
(
p, q,
0) =
−
pη
(
p, q
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
19
