выполнено условие
u
i
>
0
для любого
x
0
и
X
i
2
I
u
i
= 1
. Гарантиро-
вать положительность множителей Лагранжа можно, приняв некото-
рое условие обобщенной регулярности [10]. А именно, пусть в точке
x
0
2
X
для любого
ν
2
I
векторы
r
˜
f
i
(
p, q, x
0
)
,
i
6
=
ν
,
i
2
I
, и
r
˜
g
j
(
p, q, x
0
)
,
j
2
J
(
x
0
)
, линейно независимы. Данное условие явля-
ется обобщением обычного условия регулярности скалярной задачи
математического программирования в виде условия линейной незави-
симости градиентов активных ограничений. Содержательный смысл
введенного ограничения заключается в том, что фактически требуется
одновременное выполнение условий регулярности для
m
задач вида
min
w,ξ
ξ
+
r
˜
f
ν
(
p, q, x
)
, w
+
1
2
k
w
k
2
:
r
˜
f
i
(
p, q, x
)
, w
≤
ξ, i
6
=
ν,
(
r
˜
g
j
(
p, q, x
)
, w
) + ˜
g
j
(
p, q, x
)
≤
0
, j
2
J .
(14)
Действительно, пусть в точке
x
0
выполняются требования линей-
ной независимости градиентов активных ограничений
m
задач типа
выражения (14) и необходимые условия экстремума этих задач, т. е.
пусть существуют такие функции
u
ν
i
≥
0
,
i
6
=
ν
,
i
2
I
, и
v
ν
j
≥
0
,
j
2
J
для любого
ν
2
I
, что
w x
0
+
r
˜
f
ν
p, q, x
0
+
+
X
i
6
=
ν
u
ν
i
r
˜
f
i
p, q, x
0
+
X
j
2
J
v
ν
j
r
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
,
(15)
u
ν
i
r
˜
f
i
p, q, x
0
, w
−
ξ
= 0
, i
6
=
ν, i
2
I,
(16)
v
ν
j
r
˜
g
j
p, q, x
0
, w
+ ˜
g
j
p, q, x
0
= 0
, j
2
J,
(17)
X
i
6
=
ν
u
ν
i
= 1
.
(18)
Если в точке
x
0
выполнено равенство
w
(
x
0
) = 0
, то выражения
(15)–(17) для любого
ν
2
I
можно просуммировать по
ν
. Получим
X
ν
2
I
v
ν
j
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
,
X
i
2
I
1 +
X
ν
6
=
i
u
ν
i
r
˜
f
i
p, q, x
0
+
X
j
2
J
X
ν
2
I
v
ν
j
r
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
,
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
