т.е. можно указать такие
λ
i
>
0
и
μ
j
≥
0
, что будут справедливы
выражения
X
i
2
I
λ
i
r
˜
f
i
p, q, x
0
+
X
j
2
J
μ
j
r
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
,
μ
j
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
, j
2
J,
X
i
2
I
λ
i
= 1
,
которые определяют необходимые условия экстремума задачи (4) в
точке
x
0
, такой что
w
(
x
0
) = 0
, причем все
λ
i
>
0
, т. е. выполнено
условие обобщенной регулярности.
С использованием результатов работы [8] и сглаживающих аппрок-
симаций можно показать, что условие обобщенной регулярности вле-
чет за собой условие регулярности Коттла. Действительно, из первого
непосредственно следует, что для любого
ν
2
I
уравнение
X
i
6
=
ν
λ
i
r
˜
f
i
p, q, x
0
+
X
j
2
J
(
x
0
)
μ
j
r
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
(19)
не имеет нетривиальных решений. Но тогда существует точка
x
1
2
R
n
,
удовлетворяющая следующей системе неравенств:
D
r
˜
f
i
p, q, x
0
, x
1
E
<
0
, i
6
=
ν,
r
˜
g
j
p, q, x
0
, x
1
<
0
, j
2
J x
0
.
(20)
Допустим, что такой точки не существует, т.е. система неравенств
(20) несовместна. Тогда по теореме Моцкина об альтернативе [7] спра-
ведливо уравнение (19), причем не для всех
μ
j
,
j
2
J
(
x
0
)
,
λ
i
, i
6
=
ν,
равных нулю.
Это противоречиво.
Теперь, с использованием
теоремы 1
[8] и сглаживающих аппрок-
симаций непрерывных не всюду дифференцируемых функций, можно
доказать сходимость алгоритма.
Теорема 2.
В любой предельной точке
x
, генерируемой данным ал-
горитмом, выполняются необходимые (а в выпуклом случае и доста-
точные) условия слабой эффективности (при дополнительном тре-
бовании выполнения условия регулярности Котла), собственной эф-
фективности (при дополнительном требовании выполнения условия
обобщенной регулярности) и
k
w
k
k
2
→
0
при
k
→ ∞
.
Пример 1.
Рассматривается изопериметрическая задача векторной
оптимизации системы деформируемых твердых тел — прямолинейных
и криволинейных стержней с упругими связями. Диаметр и толщи-
на стенки поперечного сечения трубчатых стержней равны 0,018 м и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
25
