Поскольку справедливы выражения
˜Φ
0
(
p, q, x
) = Φ
0
(
x
) =
ϕ
m
(
x
)
,
˜Φ
m
−
1
(
p, q, x
) =
ϕ
1
(
x
) + ˜
γ p, q,
˜Φ
m
−
2
(
p, q, x
)
−
ϕ
1
(
x
)
,
то аппроксимация целевой функции имеет вид
˜
f
(
p, q, x
) = ˜Φ
m
−
1
(
p, q, x
)
.
Теорема 1
[9].
Пусть
x
2
R
n
и
˜
x
2
R
n
— точки минимума для
f
(
x
)
и
˜
f
(
p, q, x
)
соответственно. Тогда
0
≤
˜
f
(
p, q, x
)
−
f
(
x
)
≤ −
p
min
x
2
X
R
n
{
1
,
(
m
−
1)
η
(
p, q
)
}
.
Следуя работе [8], свяжем с каждой точкой
x
2
R
n
вспомогатель-
ную задачу:
min
w,ξ
ξ
+
1
2
k
w
k
2
:
r
˜
f
i
(
p, q, x
)
, w
≤
ξ, i
2
I,
(
r
˜
g
j
(
p, q, x
)
, w
) + ˜
g
j
(
p, q, x
)
≤
0
, j
2
J ,
(4)
где
w
— вектор улучшающего направления;
ξ
— параметр;
r
˜
f
i
(
p, q, x
)
— градиент функции, вычисленный в точке
x
; множества
I, J
опреде-
лены выше.
Введем следующие предположения. Пусть существует такое
N >
0
,
что:
а) для некоторого
i
2
I
множество
Ω
N
=
n
x
: ˜
f
i
(
p, q, x
) +
N
˜
G
(
p, q, x
)
≤
˜
f
i
p, q, x
0
+
N
˜
G p, q, x
0
o
ограничено;
˜
G
(
p, q, x
) = max
{
0
,
˜
g
1
(
p, q, x
)
, . . . ,
˜
g
k
(
p, q, x
)
}
;
б) градиенты функций
˜
f
i
(
p, q, x
)
,
i
2
I
,
˜
g
j
(
p, q, x
)
,
j
2
J
, в
Ω
N
удовлетворяют условию Липшица с константой
L
;
в) существуют такие множители Лагранжа задачи (4)
v
j
,
j
2
J
, что
X
j
2
J
v
j
≤
N
, и последняя разрешима относительно
w
2
R
n
для любого
x
2
Ω
N
.
Необходимые и достаточные условия, связывающие точку мини-
мума и множители Лагранжа задачи (4), записываются в следующем
виде [8]: существуют такие
u
i
≥
0
,
v
j
≥
0
, что
u
i
r
˜
f
i
(
p, q, x
)
, w
−
ξ
= 0
, i
2
I,
(5)
v
j
((
r
˜
g
j
(
p, q, x
)
, w
) + ˜
g
j
(
p, q, x
)) = 0
, j
2
J,
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
21
