где
η
(
p, q
) =
1 +
a
α
−
q
2(1 +
a
α
)
a
α
2
−
1
.
Некоторые существенные свойства сглаженной функции устана-
вливают следующие утверждения [9].
Лемма 1.
Если аппроксимирующая функция
˜
γ
:
R
→
R
определена
в виде соотношения
(2)
и заданы параметры
p <
0
, q >
0
, то
lim
p
↑
0
˜
γ
(
p, q, x
) =
γ
(
x
)
.
Лемма 2.
Пусть выполнены предположения леммы
1
. Тогда
0
≤
˜
γ
(
p, q, x
)
−
γ
(
x
)
≤ −
pη
(
p, q
)
8
x
2
R
.
Представим минимизируемую недифференцируемую функцию
f
(
x
)
следующим образом:
f
(
x
) =
ϕ
1
(
x
) +
γ
(
ϕ
2
(
x
)
−
ϕ
1
(
x
) +
γ
(
. . .
+
+
γ
(
ϕ
m
−
1
(
x
)
−
ϕ
m
−
2
(
x
) +
γ
(
ϕ
m
(
x
)
−
ϕ
m
−
1
(
x
)))
. . .
))
.
Введем обозначение
Φ
i
(
x
) = max
x
2
X
R
n
{
ϕ
m
−
i
(
x
)
, ϕ
m
−
i
+1
(
x
)
, . . . , ϕ
m
−
1
(
x
)
, ϕ
m
(
x
)
}
или
Φ
i
(
x
) =
ϕ
m
−
i
(
x
) +
γ
(Φ
i
−
1
(
x
)
−
ϕ
m
−
1
(
x
))
, i
= 1
,
2
, . . . , m
−
1
.
(3)
Отметим [9], что выполняются условия
Φ
0
(
x
) =
ϕ
m
(
x
)
,
Φ
1
(
x
) =
ϕ
m
−
1
(
x
) +
γ
(
Phi
0
(
x
)
−
ϕ
m
−
1
(
x
))
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Φ
m
−
1
(
x
) =
ϕ
1
(
x
) +
γ
(Φ
m
−
2
(
x
)
−
ϕ
1
(
x
))
,
в частности,
f
(
x
) = Φ
m
−
1
(
x
)
. С использованием сглаживающей ап-
проксимации при заданных параметрах
p, q
выражение (3) можно за-
писать в виде
˜Φ
i
(
p, q, x
) =
ϕ
m
−
i
(
x
) + ˜
γ p, q,
˜Φ
i
−
1
(
p, q, x
)
−
ϕ
m
−
1
(
x
)
,
i
= 1
,
2
, . . . , m
−
1
.
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
