то справедливо неравенство [8]
max
i
2
I
n
˜
f
i
(
p, q, x
+
αw
)
−
˜
f
i
(
p, q, x
)
o
+
+
N
˜
G
(
p, q, x
+
αw
)
≤
N
˜
G
(
p, q, x
)
−
αε
k
w
k
2
.
(12)
Алгоритм решения задачи векторной оптимизации в рассматривае-
мой постановке включает в себя следующие основные шаги (пусть
x
0
— начальное приближение и выбраны
ε
,
0
< ε <
1
, параметры
p <
0
,
q >
0
и уже получена точка
x
k
).
Шаг 1
. Решение вспомогательной задачи (4) при
x
=
x
k
.
Шаг 2
. Определение первого значения
s
= 0
,
1
, . . . ,
при котором
будет выполнено неравенство (12) для
α
= (1
/
2)
s
; если такое
s
=
s
0
найдено, то положить
α
k
= 2
−
s
0
,
x
k
+1
=
x
k
+
α
k
w
k
.
Если сглаживающие аппроксимации критериальных функций и
функций ограничений построены, то необходимое условие слабой эф-
фективности, доказанное теоремой Да Канха–Полака–Джоффриона в
работе [7], с учетом условия дополняющей нежесткости [10] можно
записать так:
X
i
2
I
u
i
r
˜
f
i
p, q, x
0
+
X
j
2
J
v
j
r
˜
g
j
p, q, x
0
= 0
.
(13)
В работе [7] также показано, что при некоторых предположени-
ях о выпуклости рассматриваемых функций выражение (13) соответ-
ствует и достаточным условиям оптимальности точки
x
0
. Теперь, с
использованием результатов [8], могут быть сформулированы следу-
ющие утверждения.
Лемма 3.
Пусть в точке
x
0
выполнено условие регулярности
Котла
:
существует такая точка
x
1
2
X
, что для любого
j
2
J
(
x
0
) =
=
j
˜
g
j
(
p, q, x
0
) = 0
выполнено неравенство
hr
˜
g
j
(
p, q, x
0
)
, x
1
i
<
0
.
Тогда для того, чтобы точка
x
0
была слабо эффективной, необходимо
,
чтобы в ней выполнялось равенство
w
(
x
0
) = 0
.
Лемма 4.
Пусть
X
выпукло
,
вектор-функция
˜
f
— псевдовыпукла
,
а функции
˜
g
j
для любого
j
2
J
(
x
0
)
— квазивыпуклы. Пусть также в
точке
x
0
выполнено условие регулярности Котла [7]. Тогда для того,
чтобы точка
x
0
была слабо эффективной, необходимо и достаточно,
чтобы в ней выполнялось равенство
w
(
x
0
) = 0
.
Следствие.
Если дополнительно предположить строгую выпук-
лость вектор-функции
˜
f ,
то условия регулярности Котла и равенства
w
(
x
0
) = 0
будет необходимо и достаточно, чтобы точка
x
0
была
эффективной (Парето-оптимальной).
Согласно теореме Да Канха–Полака–Джоффриона, выражение (13)
является необходимым условием собственной эффективности [7], если
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
23
