УДК
531.19+519.21
А
.
В
.
К а л и н к и н
,
А
.
М
.
Л а н г е
,
А
.
В
.
М а с т и х и н
,
А
.
А
.
Ш а п о ш н и к о в
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОНТЕ
-
КАРЛО
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СХЕМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ПРИ ДИСКРЕТНЫХ
СОСТОЯНИЯХ
Рассмотрены стохастические модели систем взаимодействующих
элементов
,
задаваемые кинетическими схемами
.
Представлен ме
-
тод Монте
-
Карло численного исследования таких систем
.
В каче
-
стве примеров взяты модели бимолекулярной реакции
,
распостра
-
нения эпидемии и брюсселятора в виде марковских случайных про
-
цессов с дискретным фазовым пространством
.
Сложные системы с взаимодействиями и превращениями составля
-
ющих их элементов часто задаются схемами взаимодействий
.
Общая
схема взаимодействий
,
в которой участвуют элементы типов
T
1
, . . . , T
n
,
имеет вид
ε
1
1
T
1
+
ε
1
2
T
2
+
. . .
+
ε
1
n
T
n
→
γ
1
1
T
1
+
γ
1
2
T
2
+
. . .
+
γ
1
n
T
n
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ε
i
1
T
1
+
ε
i
2
T
2
+
. . .
+
ε
i
n
T
n
→
γ
i
1
T
1
+
γ
i
2
T
2
+
. . .
+
γ
i
n
T
n
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ε
l
1
T
1
+
ε
l
2
T
2
+
. . .
+
ε
l
n
T
n
→
γ
l
1
T
1
+
γ
l
2
T
2
+
. . .
+
γ
l
n
T
n
,
(1)
где
ε
i
j
,
γ
i
j
,
i
= 1
,
2
, . . . , l
,
j
= 1
,
2
, . . . , n
, —
целые неотрицательные
числа
.
В физике и химии схемы вида
(1)
называются
кинетическими
схемами
[4, 8];
в экологии и эпидемиологии при описании систем с
взаимодействием используется специальная терминология
,
однако во
многих случаях такие описания сводятся к схемам вида
(1) [11, 12].
В
технике
,
в математической теории надежности запись
T
→
0
обознача
-
ет выход из строя элементов технических систем
;
в теории массового
обслуживания схема
0
→
T
,
T
→
0
интерпретируется как дисциплина
обслуживания
M/M/
∞
[17].
В публикациях по математическому мо
-
делированию систем рассматриваемого класса для отдельных элемен
-
тов используется название
частица
,
что обусловлено спецификой про
-
цессов их взаимодействия
.
При различии физической природы
,
проис
-
хождения и масштабов таких частиц существенным является то
,
что
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
53
