Предполагается
,
что за время
Δ
t
,
Δ
t
→
0
,
вероятность
ϕ
i
β
Δ
t
+
o
(Δ
t
)
взаимодействия комплекса частиц
S
ε
i
пропорциональна числу
C
ε
i
1
β
1
со
-
четаний
ε
i
1
частиц типа
T
1
из имеющихся
β
1
частиц типа
T
1
,
. . . ,
про
-
порциональна числу
C
ε
i
n
β
n
сочетаний
ε
i
n
частиц типа
T
n
из имеющихся
β
n
частиц типа
T
n
.
Для введенных марковских процессов уравнения Колмогорова
(7)
для переходных вероятностей записываются в компактном виде с ис
-
пользованием производящих функций
.
Многомерной производящей
функцией
F
ξ
(
s
1
, . . . , s
n
)
,
соответствующей целочисленному случайно
-
му вектору
ξ
= (
ξ
1
, . . . , ξ
n
)
с распределением вероятностей
{
p
α
≥
0
,
α
2
N
n
,
P
α
2
N
n
p
α
= 1
}
,
называется функция
F
ξ
(
s
1
, . . . , s
n
) =
M
s
ξ
1
1
. . . s
ξ
n
n
=
X
α
2
N
n
p
α
s
α
1
1
. . . s
α
n
n
(
см
. [2]).
Далее применяется запись
s
= (
s
1
, . . . , s
n
)
,
s
α
=
s
α
1
1
. . . s
α
n
n
.
Для вектора используется обозначение
1
,
если все его компоненты рав
-
ны единице
;
|
s
|
обозначает вектор с компонентами
|
s
i
|
.
Математические
ожидания компонент случайного вектора вычисляются по формуле
M
ξ
i
=
∂F
ξ
(
s
)
∂s
i
s
=1
,
дисперсия
—
по формуле
D
ξ
i
=
∂
2
F
ξ
(
s
)
∂s
2
i
s
=1
+
∂F
ξ
(
s
)
∂s
i
s
=1
−
∂F
ξ
(
s
)
∂s
i
s
=1
2
.
Для свертки второй системы дифференциальных уравнений ис
-
пользуются производящие функции
(
|
s
| ≤
1
)
F
α
(
t
;
s
) =
M
(
s
ξ
(
t
)
|
ξ
(0) =
α
) =
X
β
2
N
n
P
αβ
(
t
)
s
β
, h
i
(
s
) =
X
γ
2
N
n
p
i
γ
s
γ
.
Теорема
1
[17].
Производящая функция переходных вероятностей
F
α
(
t
;
s
)
марковского процесса
ξ
(
t
)
,
соответствующего схеме взаимо
-
действий
(1)
,
удовлетворяет при
|
s
| ≤
1
линейному дифференциально
-
му уравнению в частных производных
∂F
α
(
t
;
s
)
∂t
=
l
X
i
=1
λ
i
h
i
(
s
)
−
s
ε
i
∂
ε
i
F
α
(
t
;
s
)
∂s
ε
i
, F
α
(0;
s
) =
s
α
,
(9)
где
λ
i
>
0
, i
= 1
, . . . , n
.
58
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
