Для свертки первой системы дифференциальных уравнений вво
-
дятся экспоненциальные производящие функции и дифференциальные
операторы
G
β
(
t
;
z
) =
X
α
2
N
n
z
α
α
!
P
αβ
(
t
)
, h
i
∂
∂z
=
X
γ
2
N
n
p
i
γ
∂
γ
1
+
...
+
γ
n
∂z
γ
1
1
. . . ∂z
γ
n
n
,
где
z
= (
z
1
, . . . , z
n
)
,
z
α
=
z
α
1
1
. . . z
α
n
n
,
α
! =
α
1
!
. . . α
n
!
.
Теорема
2
[17].
Экспоненциальная производящая функция переход
-
ных вероятностей
G
β
(
t
;
z
)
марковского процесса
ξ
(
t
)
,
соответствую
-
щего схеме взаимодействий
(1)
,
удовлетворяет линейному дифферен
-
циальному уравнению в частных производных
∂G
β
(
t
;
z
)
∂t
=
l
X
i
=1
λ
i
z
ε
i
h
i
∂
∂z
−
∂
ε
i
∂z
ε
i
G
β
(
t
;
z
)
, G
β
(0;
z
) =
z
β
β
!
.
(10)
Функции
F
α
(
t
;
s
)
,
h
i
(
s
)
и
G
β
(
t
;
z
)
являются аналитическими в рас
-
сматриваемых областях
.
Алгоритм моделирования на ЭВМ марковского процесса
ξ
(
t
)
.
При рассмотрении детерминированной модели схемы взаимодейст
-
вий
(1) —
нелинейной системы уравнений
(6)
для
x
1
(
t
)
, . . . , x
n
(
t
)
—
применяется метод Рунге
–
Кутта построения приближенного решения
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
.
При исследовании вероятностной модели схемы взаимодействий
(1)
строятся реализации процесса
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, . . . , ξ
n
(
t
))
методом
Монте
-
Карло
.
Алгоритм моделирования следующий
.
На пользовательский интерфейс вводятся исходные данные
:
[0
, T
]
—
время моделирования
;
α
= (
α
1
, . . . , α
n
)
—
начальное состояние
;
ε
1
, . . . , ε
l
—
комплексы взаимодействия
;
{
p
1
γ
}
, . . . ,
{
p
l
γ
}
—
распреде
-
ления вероятностей на
N
n
;
λ
1
, . . . , λ
l
—
набор чисел
.
Используются переменные
:
m
—
номер итерации алгоритма
;
t
(
m
)
—
m
-
й момент изменения
c
остояния марковского процесса
;
β
(
m
)
=
= (
β
(
m
)
1
, . . . , β
(
m
)
n
)
— c
остояние процесса на
m
-
й итерации
;
τ
=
= (
τ
1
, . . . , τ
l
)
—
вектор случайных времен
,
τ
min
—
минимальная ко
-
ордината вектора
τ
;
γ
= (
γ
1
, . . . , γ
n
)
—
вектор скачка
,
координаты
которого вычисляются на
m
-
й итерации
;
r
=
random
[0
,
1]
—
датчик
случайных чисел
,
равномерно распределенных на отрезке
[0
,
1]
.
1.
Начальные значения переменных
:
m
= 0
,
t
(0)
= 0
,
β
(0)
=
α
.
2.
Реализация вектора
τ
.
Цикл по
i
= 1
, . . . , l
.
2.1.
Если
β
(
m
)
k
< ε
i
k
при некотором
k
,
k
= 1
, . . . , n
,
то
τ
i
=
∞
.
Иначе
r
:=
random
[0
,
1]
,
вычислить
ϕ
i
β
(
m
)
по формуле
(8)
и присвоить
значение
τ
i
=
−
(1
/ϕ
i
β
(
m
)
) ln(1
−
r
)
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
59
