удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений
˙
x
1
=
f
1
(
x
1
, . . . , x
n
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
˙
x
n
=
f
n
(
x
1
, . . . , x
n
)
(6)
с начальными условиями
x
1
(0) =
x
0
1
, . . . , x
n
(0) =
x
0
n
(
кинетические
уравнения
).
Вид функций
f
1
, . . . , f
n
определяется по схеме
(1)
исходя из
законов формальной кинетики
[8]
на основе простейших случаев
(2) –
(5).
В прикладных задачах
,
как правило
,
функции
f
1
, . . . , f
n
являются
многочленами степени не выше третьей
.
Схемой
(1)
может быть учтено
поступление частиц извне
(
открытая система
)
и образование финаль
-
ного продукта
.
Стохастические модели для схем взаимодействий
.
Уравнения
Колмогорова
.
Пусть
N
n
=
{
α
= (
α
1
, . . . , α
n
)
, α
i
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
i
= 1
, . . . , n
}
—
множество
n
-
мерных векторов с неотрицательны
-
ми целочисленными компонентами
.
Далее для
α, β, γ
2
N
n
приняты
обозначения
:
γ
=
α
−
β
,
если
γ
1
=
α
1
−
β
1
, . . . , γ
n
=
α
n
−
β
n
,
и т
.
п
.
Для
однородного по времени марковского процесса
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, . . . , ξ
n
(
t
))
,
t
2
[0
,
∞
)
,
на множестве состояний
N
n
обозначим переходные ве
-
роятности
P
αβ
(
t
) =
P
{
ξ
(
t
) =
β
|
ξ
(0) =
α
}
, α, β
2
N
n
.
Такой
случайный процесс задается плотностями переходных вероятностей
a
αβ
= (
dP
αβ
(
t
)
/dt
)
|
t
=0+
.
Далее всегда выполнены условия
,
при ко
-
торых переходные вероятности удовлетворяют первой
(
обратной
)
и
второй
(
прямой
)
системам дифференциальных уравнений Колмогоро
-
ва
[2]
dP
αβ
(
t
)
dt
=
X
γ
2
N
n
a
αγ
P
γβ
(
t
)
, α
2
N
n
,
dP
αβ
(
t
)
dt
=
X
γ
2
N
n
P
αγ
(
t
)
a
γβ
, β
2
N
n
,
(7)
с начальными условиями
P
αα
(0) = 1
,
P
αβ
(0) = 0
при
α
6
=
β
.
Марковский процесс
,
соответствующий схеме взаимодействий
(1),
указывается конкретным видом плотностей переходных вероятностей
{
a
αβ
, α, β
2
N
n
}
[17].
Из схемы
(1)
имеем векторы
ε
i
= (
ε
i
1
, . . . , ε
i
n
)
,
i
= 1
, . . . , l.
Каждому вектору
ε
i
сопоставим распределение вероят
-
ностей на
N
n
,
{
p
i
γ
≥
0
,
P
γ
2
N
n
p
i
γ
= 1
, p
i
ε
i
= 0
}
,
и набор чисел
{
ϕ
i
α
≥
0
, α
2
N
n
;
ϕ
i
α
= 0
,
если
α
k
< ε
i
k
при некотором
k
}
по формуле
ϕ
i
α
=
λ
i
n
Y
j
=1
α
j
(
α
j
−
1)
. . .
(
α
j
−
ε
i
j
+ 1)
, α
2
N
n
,
(8)
56
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
