Рис
. 2.
Скачки марковского процесса
,
соответствующего схеме
(11)
где
λ
2
>
0
,
λ
1
>
0
,
λ
0
>
0
,
p
2
3
≥
0
,
p
2
1
≥
0
,
p
2
3
+
p
2
1
= 1
,
p
1
2
≥
0
,
p
1
0
≥
0
,
p
1
2
+
p
1
0
= 1
.
Рассматриваемый случайный процесс является процессом рожде
-
ния и гибели квадратичного типа
[2].
В состоянии
i
процесс находится
случайное время
τ
i
,
P
{
τ
i
≤
t
}
= 1
−
e
−
(
λ
0
+
λ
1
i
+
λ
2
i
(
i
−
1))
t
;
переходы про
-
цесса
i
→
i
−
1
или
i
→
i
+ 1
происходят с вероятностями
(
см
.
рис
. 2)
e
q
i
=
p
1
0
λ
1
i
+
p
2
1
λ
2
i
(
i
−
1)
λ
0
+
λ
1
i
+
λ
2
i
(
i
−
1)
,
e
p
i
=
λ
0
+
p
1
2
λ
1
i
+
p
2
3
λ
2
i
(
i
−
1)
λ
0
+
λ
1
i
+
λ
2
i
(
i
−
1)
.
(13)
Имеем детерминированную модель для схемы взаимодействий
(11).
Дифференцируя уравнение
(12)
по
s
,
получим
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s∂t
=
=
λ
2
(3
p
2
3
s
2
+
p
2
1
−
2
s
)
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
+
λ
2
(
p
2
3
s
3
+
p
2
1
s
−
s
2
)
∂
3
F
i
(
t
;
s
)
∂s
3
+
+
λ
1
(2
p
1
2
s
−
1)
∂F
i
(
t
;
s
)
∂s
+
λ
1
(
p
1
2
s
2
+
p
1
0
−
s
)
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
+
+
λ
0
F
i
(
t
;
s
) +
λ
0
(
s
−
1)
∂F
i
(
t
;
s
)
∂s
.
(14)
Вводя обозначение для среднего числа частиц
A
i
(
t
) = (
∂F
i
(
t
;
s
)
/∂s
)
|
s
=1
и учитывая
,
что
F
i
(
t
; 1)
≡
1
,
получаем из
(14)
равенство
dA
i
(
t
)
dt
=
λ
2
(2
p
2
3
−
1)
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
s
=1
+
λ
1
(2
p
1
2
−
1)
A
i
(
t
) +
λ
0
.
Считая при
i
→ ∞
справедливым
“
предельный термодинамический
переход
” [1], [5]
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
s
=1
≈
∂F
i
(
t
;
s
)
∂s
s
=1
2
,
приходим к кинетическому уравнению
˙
x
=
λ
2
(2
p
2
3
−
1)
x
2
+
λ
1
(2
p
1
2
−
1)
x
+
λ
0
, x
(0) =
x
0
,
(15)
где
x
(
t
)
—
количество реагента в момент времени
t
для бимолекуляр
-
ной реакции со схемой
(11).
В случае
p
2
3
<
1
/
2
уравнение
(15)
известно
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
61
