модели
.
В первой части работы дается описание детерминированных и сто
-
хастических моделей
,
используемых при рассмотрении систем с взаи
-
модействием
,
задаваемых схемами
(1).
При детерминированном под
-
ходе к схеме
(1)
определяют систему нелинейных дифференциальных
уравнений
(
см
.
далее уравнения
(6)).
Вероятностный подход основан на
понятиях и результатах теории марковских процессов со счетным мно
-
жеством состояний
[2].
Моделью системы со схемой взаимодействий
(1)
является обобщенный процесс рождения и гибели
ξ
(
t
)
,
t
2
[0
,
∞
)
,
при дискретном множестве состояний
N
n
,
N
=
{
0
,
1
,
2
, . . .
}
[4, 5, 17].
Точка фазового пространства
(
α
1
, . . . , α
n
)
2
N
n
интерпретируется
как такое состояние системы
,
в котором имеется совокупность частиц
α
1
T
1
+
. . .
+
α
n
T
n
,
состоящая из
α
1
частиц типа
T
1
,
. . . , α
n
частиц типа
T
n
;
переход случайного процесса в другое состояние
—
результат вза
-
имодействия одного из комплексов частиц
ε
i
1
T
1
+
. . .
+
ε
i
n
T
n
согласно
схеме
(1).
Процесс
ξ
(
t
)
введен в работе
[1]
для кинетической схемы
T
i
+
T
j
→
T
k
+
T
l
,
i, j, k, l
= 1
, . . . , n
.
В работе
[1]
указано на связь меж
-
ду стохастической и детерминированной моделями при большом числе
частиц
(
см
.
также
[4, 5, 12]).
В настоящей статье примеры
“
термодина
-
мического предельного перехода
”
даны для трех схем взаимодействий
.
Аналитический метод исследования марковских процессов осно
-
ван на рассмотрении первой и второй систем дифференциальных урав
-
нений Колмогорова для переходных вероятностей
(
см
.
далее уравне
-
ния
(7)).
Для процессов
ξ
(
t
)
,
определяемых схемами взаимодействий
(1),
такое исследование сводится к рассмотрению уравнений в частных
производных
(9)
и
(10).
Точные решения уравнений Колмогорова для
некоторых схем взаимодействий
,
в случаях
n
≤
2
и
l
≤
2
,
получены в
работе
[17].
В случаях
n >
2
или
l >
2
ввиду сложности уравнений
(9)
и
(10)
целесообразно использовать метод Монте
-
Карло
—
способ решения
математических задач путем моделирования случайных величин и по
-
строения статистических оценок
[3].
Модели при дискретных состо
-
яниях
,
совпадающие с рассматриваемыми в настоящей статье
,
изуча
-
лись через численный эксперимент в работах
: [9],
где детально иссле
-
дована схема
2
T
→
kT
,
k
= 0
,
1
; [10],
где моделировалась химическая
реакция
2
T
1
→
T
2
,
T
2
→
2
T
1
,
T
1
→
0
,
T
2
→
T
3
; [15],
где методом стати
-
стических испытаний изучалась динамика конкурирующих популяций
;
[20]
и др
.
Во второй части статьи изложен итерационный алгоритм моде
-
лирования на ЭВМ случайного процесса
ξ
(
t
)
,
соответствующего схе
-
54
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
