ниях параметров
.
Таким образом
,
статистическое моделирование мар
-
ковского процесса
ξ
(
t
)
со схемой взаимодействий
(11)
позволяет сде
-
лать предположение об асимптотической нормальности стационарного
распределения
{
q
j
}
при
λ
0
→ ∞
.
Проведенные методом Монте
-
Карло исследования моделей схем
взаимодействий общего вида
εT
→
k
ε
T, . . . ,
2
T
→
k
2
T, T
→
k
1
T
,
0
→
k
0
T
также привели к предположению об асимптотической нор
-
мальности стационарного распределения при
λ
0
→ ∞
и некоторых
дополнительных условиях
.
Процесс эпидемии
.
Финальное распределение
.
На множестве со
-
стояний
N
2
рассматривается марковский процесс
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
,
t
2
[0
,
∞
)
,
соответствующий схеме взаимодействий
T
1
+
T
2
→
kT
1
, k
= 1
,
2;
T
1
→
0
.
(17)
Первое уравнение для производящей функции переходных вероят
-
ностей
G
(
β
1
,β
2
)
(
t
;
z
1
, z
2
)
в случае процесса
ξ
(
t
)
при
μ >
0
имеет вид
∂G
β
(
t
;
z
)
∂t
=
h
z
1
z
2
p
2
∂
2
∂z
2
1
+
p
1
∂
∂z
1
−
∂
2
∂z
1
∂z
2
+
+
μz
1
1
−
∂
∂z
1
i
G
β
(
t
;
z
)
с начальным условием
G
β
(0;
z
) =
z
β
/β
!
.
Здесь
p
1
≥
0
,
p
2
≥
0
,
p
1
+
+
p
2
= 1
.
Второе уравнение для производящей функции
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
получает вид
∂F
α
(
t
;
s
)
∂t
=
p
2
s
2
1
+
p
1
s
1
−
s
1
s
2
∂
2
F
α
(
t
;
s
)
∂s
1
∂s
2
+
μ
1
−
s
1
∂F
α
(
t
;
s
)
∂s
1
(18)
с начальным условием
F
α
(0;
s
) =
s
α
.
Рассматриваемый случайный процесс является двухмерным про
-
цессом рождения и гибели квадратичного типа
;
пример реализации
процесса изображен на рис
. 6,
случай
а
.
Событие
{
ξ
(
t
) = (
β
1
, β
2
)
}
означает наличие
β
1
частиц типа
T
1
и
β
2
частиц типа
T
2
в момент вре
-
мени
t
.
В вероятностных моделях распространения эпидемий частицы
типа
T
1
интерпретируются как больные особи
,
частицы типа
T
2
—
как
здоровые особи
,
восприимчивые к инфекционному заболеванию
.
Че
-
рез случайное время
τ
2
(
β
1
,β
2
)
,
P
{
τ
2
(
β
1
,β
2
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
β
1
β
2
t
,
происходит
контакт больной и здоровой особей
.
Здоровая особь становится боль
-
ной и с вероятностью
p
2
остается в популяции
,
и процесс переходит
в состояние
,
соответствующее вектору
(
β
1
+ 1
, β
2
−
1)
,
или с вероят
-
ностью
p
1
удаляется из популяции
,
и процесс переходит в состояние
,
64
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
