Асимптотические свойства финального распределения
.
Для
марковского процесса
ξ
(
t
)
частицы типов
T
2
и
T
3
называются финаль
-
ными
[10].
Обозначим
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
,
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
3
случайные числа финальных
частиц
,
которые останутся после того
,
как процесс выродится
,
т
.
е
.
не
останется частиц типа
T
1
.
Совместное вероятностное распределение
величин
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
,
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
3
определяется производящей функцией
(13).
Одномерные распределения финальных вероятностей случайных
величин
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
и
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
3
задаются производящими функциями
вероятностей
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
s
2
,
1)
и
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
, s
3
)
.
Для факториальных
моментов из формулы
(11)
при
α
2
→ ∞
получаем
M
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
=
∂
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
2
=
α
2
μ
μ
+ 1
α
1
,
M
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
3
=
∂
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
3
α
1
α
2
μ
+ 1
μ
μ
+ 1
α
1
,
∂
2
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
2
2
=
α
2
(
α
2
−
1)
μ
μ
+ 1
α
1
,
∂
2
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
2
3
α
2
(
α
2
−
1)
α
1
(
α
1
+ 1)
μ
+ 2
μ
μ
+ 2
α
1
,
D
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
=
∂
2
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
2
2
+
∂
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
2
−
−
∂
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(1
,
1)
∂s
2
2
(
α
2
)
2
h
μ
μ
+ 2
α
1
−
μ
μ
+ 1
2
α
1
i
,
D
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
3
α
1
(
α
2
)
2
h
α
1
−
1
(
μ
+ 2)
2
μ
μ
+ 2
α
1
−
α
1
(
μ
+ 1)
2
μ
μ
+ 1
2
α
1
i
.
Теорема
2.
Пусть
x
2
[0
,
1]
.
Тогда
lim
α
2
→∞
P
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
α
2
≤
x
=
x
μ
α
1
−
1
X
n
=0
(
−
μ
ln
x
)
n
n
!
.
Доказательство
.
Преобразование Лапласа от функции распреде
-
ления случайной величины
η
(
α
1
,α
2
,α
3
)
2
/α
2
имеет вид
[11]
M
(
e
−
λη
(
α
1
,α
2
,α
3 )
2
/α
2
) = Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
e
−
λ/α
2
,
1) =
=
μ
α
1
(
α
1
−
1)!
Z
∞
0
x
α
1
−
1
e
−
μx
e
−
x
(
e
−
λ/α
2
−
1) + 1
α
2
dx.
84
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
