Решение стационарного первого уравнения Колмогорова для марковского процесса эпидемии, развивающейся по схеме T1 + T2 -> T1 + T3, T1 + T3 -> T1, T1 -> 0 - page 4

Аналитичность функции Φ(z 1, z2 , z3 ; s2 , s3 ) при любых z 1, z2 , z3 сле- дует из неравенства
|Φ(z 1 , z2 , z3; s2 , s3) | ≤
≤
∞ X
α1,α2,α3=0
|z 1 |α1 |z 2| α2 |z 3| α3
α 1! α2 !α 3! |Φ (α1 ,α2 ,α3) ( s2 , s3 )| ≤ e |z1| +| z2 |+|z3| .
Из первого уравнения (2) аналогично теореме 1.4 работы [5] получа- ем, что функция Φ(z1 , z2, z3 ; s2, s3 ) удовлетворяет стационарному урав- нению
z1 z2
∂ 2 Φ
∂z 1∂z 3 −
∂ 2 Φ
∂z 1∂z 2
+ z 1z 3
∂ Φ
∂z1 −
∂ 2Φ
∂z1 ∂z3
+ μz1 Φ −
∂ Φ
∂z1
= 0,
или, после преобразований,
( z2 − z3 )
∂2 Φ
∂z1 ∂z3 − z 2
∂ 2Φ
∂z1 ∂z2 − (μ − z3 )
∂Φ
∂z1
+ μΦ = 0. (4)
Получим граничные условия. Пусть z1 = 0. Очевидно , что
q (0,α2,α3)
(0,α2,α3) = 1 и q(0,α2,α3)
(0,γ2,γ3) = 0 при α2 6= γ2 или α3 6= γ 3. Следовательно,
Φ(0, z2, z3 ; s2 , s3 ) =
∞ X
α2 ,α3 =0
z α2
2 z α3
3
α 2! α3 !
Φ(0,α2,α3) (s2, s3 ) =
=
∞ X
α 2,α3=0
z α2
2 z α3
3
α 2 !α3 !
sα2
2 sα 3
3 = es2 z2 +s3z3 .
Пусть z2 = 0, z3 = 0. Для состояний ( α1 , 0, 0), α1 = 0, 1, 2 . . ., фи- нальные вероятности определяются следующим образом: q (α 1,0, 0)
(0,0 ,0) = 1
и q (α 1,0 ,0)
(0,γ2,γ3) = 0 при γ2 6= 0 или γ3 6= 0 . Следовательно,
Φ(z1 , 0, 0; s2 , s3) =
∞ X
α1=0
z α 1
1
α1 !
Φ (α 1,0, 0)(s2 , s3 ) =
∞ X
α 1=0
z α1
1
α 1!
= ez1 .
Итак, уравнение (4) рассматривается при условиях
Φ(z 1, 0, 0; s1 , s2 , s3 ) = e z1, Φ(0, z2 , z3 ; s1 , s2 , s3 ) = es2z2 +s3z3 . (5)
В работе получено решение задачи (4), (5), удовлетворяющее условию
аналитичности. Вопросы существования и единственности решений
78 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э . Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 2