УДК
519.21
А
.
В
.
М а с т и х и н
РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ПЕРВОГО УРАВ
-
НЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ МАРКОВСКОГО
ПРОЦЕССА ЭПИДЕМИИ
,
РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ ПО
СХЕМЕ
T
1
+ T
2
→
T
1
+ T
3
,
T
1
+ T
3
→
T
1
,
T
1
→
0
Для трехмерного марковского процесса специального вида решено
стационарное первое уравнение Колмогорова для переходных веро
-
ятностей
.
Получено интегральное представление для производя
-
щей функции финальных вероятностей
.
Найдены асимптотики для
математического ожидания и дисперсии финального распределения
и установлены предельные теоремы
.
Определение марковского процесса
.
На множестве состояний
N
3
=
{
α
= (
α
1
, α
2
, α
3
)
, α
1
, α
2
, α
3
= 0
,
1
,
2
, . . .
}
рассматривается од
-
нородный по времени марковский процесс
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
)
, ξ
3
(
t
))
,
t
2
[0
,
∞
)
,
с переходными вероятностями
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
β
1
,β
2
,β
3
)
(
t
) =
P
{
ξ
(
t
) =
= (
β
1
, β
2
, β
3
)
|
ξ
(0) = (
α
1
, α
2
, α
3
)
}
.
Пусть при
Δ
t
→
0
переходные
вероятности имеют вид
(
λ
1
>
0
, λ
2
>
0
, λ
3
>
0)
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
α
1
,α
2
−
1
,α
3
+1)
(Δ
t
) =
λ
1
α
1
α
2
Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
α
1
,α
2
,α
3
−
1)
(Δ
t
) =
λ
2
α
1
α
3
Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
α
1
−
1
,α
2
,α
3
)
(Δ
t
) =
λ
3
α
1
Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(Δ
t
) = 1
−
(
λ
1
α
1
α
2
+
λ
2
α
1
α
3
+
λ
3
α
1
)Δ
t
+
o
(Δ
t
)
.
Определим производящие функции
(
|
s
1
| ≤
1
,
|
s
2
| ≤
1
,
|
s
3
| ≤
1
)
F
α
(
t
;
s
1
, s
2
, s
3
) =
∞
X
β
1
,β
2
,β
3
=0
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
β
1
,β
2
,β
3
)
(
t
)
s
β
1
1
s
β
2
2
s
β
3
3
.
Вторая
(
прямая
)
система дифференциальных уравнений Колмого
-
рова для переходных вероятностей равносильна уравнениию в частных
производных
[2, 6]
∂F
α
(
t
;
s
)
∂t
=
λ
1
s
1
s
3
−
s
1
s
2
∂
2
F
α
(
t
;
s
)
∂s
1
∂s
2
+
+
λ
2
s
1
−
s
1
s
3
∂
2
F
α
(
t
;
s
)
∂s
1
∂s
3
+
λ
3
1
−
s
1
∂F
α
(
t
;
s
)
∂s
1
,
(1)
с начальными условиями
F
α
(0;
s
1
, s
2
, s
3
) =
s
α
1
1
s
α
2
2
s
α
3
3
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
75
