Введем экспоненциальную
(
двойную
)
производящую функцию
[4, 5]
F
(
t
;
z
1
, z
2
, z
3
;
s
1
, s
2
, s
3
) =
∞
X
α
1
,α
2
,α
3
=0
z
α
1
1
z
α
2
2
z
α
3
3
α
1
!
α
2
!
α
3
!
F
α
(
t
;
s
1
, s
2
, s
3
)
.
Первая
(
обратная
)
система дифференциальных уравнений Колмогоро
-
ва для переходных вероятностей процесса
ξ
(
t
)
приводится к виду
∂
F
∂t
=
λ
1
z
1
z
2
∂
2
F
∂z
1
∂z
3
−
∂
2
F
∂z
1
∂z
2
+
λ
2
z
1
z
3
∂
F
∂z
1
−
∂
2
F
∂z
1
∂z
3
+
+
λ
3
z
1
F −
∂
F
∂z
1
,
F
(0
, z
1
, z
2
, z
3
;
s
1
, s
2
, s
3
) =
e
s
1
z
1
+
s
2
z
2
+
s
3
z
3
.
(2)
Интерпретация процесса
.
Задача о финальных вероятностях
.
Марковский процесс
ξ
(
t
)
может быть интерпретирован как модель эпи
-
демии
[1, 2, 6],
а именно как модель распространения инфекции с двумя
стадиями заболевания
.
Процессу соответствует схема взаимодействий
[2, 6]:
T
1
+
T
2
→
T
1
+
T
3
, T
1
+
T
3
→
T
1
, T
1
→
0
,
(3)
где частицы типа
T
1
—
зараженные особи
(
источники инфекции
);
ча
-
стицы типа
T
2
—
здоровые особи
(
восприимчивые к инфекции
,
не
имевшие пока контактов с зараженными
);
частицы типа
T
3
—-
особи
,
имевшие один контакт с зараженными
(
ставшие носителями инфек
-
ции
).
Здоровая особь после двух контактов с зараженным удаляется из
популяции
.
Состояние
(
α
1
, α
2
, α
3
)
означает наличие
α
1
частиц типа
T
1
,
α
2
частиц типа
T
2
и
α
3
частиц типа
T
3
.
Через случайное время
τ
1
,
с рас
-
пределением вероятностей
P
{
τ
1
< t
}
=
e
−
α
1
α
2
λ
1
t
,
пара частиц типа
T
1
и типа
T
2
взаимодействует и независимо от других частиц превращает
-
ся в частицу типа
T
1
и частицу типа
T
3
.
Процесс переходит в состояние
,
соответствующее вектору
(
α
1
, α
2
−
1
, α
3
+ 1)
.
Через случайное время
τ
2
,
с распределением вероятностей
P
{
τ
2
< t
}
=
e
−
α
1
α
3
λ
2
t
,
пара частиц
типа
T
1
и типа
T
3
взаимодействует и независимо от других частиц пре
-
вращается в частицу типа
T
1
.
Процесс переходит в состояние
,
соответ
-
ствующее вектору
(
α
1
, α
2
, α
3
−
1)
.
Кроме того
,
через случайное время
τ
3
,
с распределением вероятностей
P
{
τ
3
< t
}
=
e
−
α
1
λ
3
t
,
частица типа
T
1
умирает и процесс переходит в состояние
,
соответствующее вектору
(
α
1
−
1
, α
2
, α
3
)
.
Случайные величины
τ
1
, τ
2
и
τ
3
независимы
,
в состоя
-
нии
(
α
1
, α
2
, α
3
)
процесс находится случайное время
τ
= min
{
τ
1
, τ
2
, τ
3
}
.
Предложенный марковский процесс рассмотрен в работе
[2]
в слу
-
чае
λ
1
=
λ
2
= 1
, λ
3
=
μ.
В
[2]
методом преобразования Лапласа решено
76
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
