=
u
xy
−
(
au
)
x
−
(
bu
)
y
+
cu
= 0
относительно переменных
x
и
y
.
В случае
уравнения
(7)
рассматриваемое уравнение совпадает с сопряженным
.
K
роме того
,
требуется выполнение следующих соотношений
:
R
y
(
x
0
, y
0
;
x
0
, y
) =
R
x
(
x
0
, y
0
;
x, y
0
) =
=
R
x
0
(
x
0
, y
;
x, y
) =
R
y
0
(
x, y
0
;
x, y
) = 0
,
R
(
x, y
;
x, y
) =
R
(
x
0
, y
0
;
x
0
, y
0
) = 1
.
Лемма
1
.
Функция Римана для уравнения
(7)
имеет вид
R
(
x
0
, y
0
;
x, y
) =
J
0
2
r
−
μ
(
x
−
x
0
) ln
y
y
0
,
(10)
где
J
0
—
функция Бесселя нулевого порядка
.
Доказательство
.
Функцию
P
имана для уравнения
L
(
u
) = 0
ищем
в виде ряда
[9]
R
(
x
0
, y
0
;
x, y
) =
∞
X
j
=0
v
j
(
x, y
)(
x
−
x
0
)
j
(
y
−
y
0
)
j
j
!
j
!
.
Нулевой коэффициент
,
следуя
[9],
находим из соотношения
ln
v
0
(
x, y
) =
(
x,y
)
Z
(
x
0
,y
0
)
(
a dX
+
b dY
) = 0
,
таким образом
,
v
0
(
x, y
) = 1
.
Интеграл берется по отрезку
,
соединяю
-
щему точки
(
x
0
, y
0
)
и
(
x, y
)
;
в полярных координатах имеем
x
=
x
0
+
+
r
cos
θ, y
=
y
0
+
r
sin
θ
для граничных точек и
X
=
x
0
+
s
cos
θ
,
Y
=
y
0
+
s
sin
θ
для внутренних точек из этого отрезка
,
где
θ
=
const,
s
2
[0
, r
]
.
Рекуррентная формула для вычисления коэффициентов ря
-
да получается при подстановке ряда в сопряженное уравнение и имеет
вид
[9]
v
j
(
x, y
) =
−
j
r
j
r
Z
0
s
j
−
1
L
(
v
j
−
1
(
X, Y
))
ds.
Вычисление
v
1
(
x, y
)
, v
2
(
x, y
)
составляет основание индукции по
j
:
L
(
v
0
) =
−
μ
y
, v
1
=
−
1
r
r
Z
0
−
μ
y
ds
=
μ
r
r
Z
0
d
(
y
0
+
s
sin
θ
)
(
y
0
+
s
sin
θ
) sin
θ
=
=
μ
r
sin
θ
ln(
y
0
+
s
sin
θ
)
r
0
=
μ
r
sin
θ
(ln(
y
0
+
r
sin
θ
)
−
ln
y
0
) =
μ
y
−
y
0
ln
y
y
0
;
80
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
