×
h
μ
+
z
2
(
e
−
x
((
s
2
−
1)+(
x
−
1)(
s
3
−
1)))+
z
3
e
−
x
(
s
3
−
1)
i
J
0
2
√ −
μxz
1
dx.
(13)
C
овершенный выше предельный переход нуждается в обосновании
;
однако непосредственной подстановкой выражения
(13)
в уравнение
(4)
и проверкой условий
(5)
убеждаемся
,
что
(13)
является решением
задачи
(4), (5).
Единственность устанавливается
,
исходя из аналитич
-
ности решения
(
ср
. [9, 5]).
Учитывая определение производящей функции
Φ(
z
1
, z
2
, z
3
;
s
2
, s
3
)
и
разложения в ряды
e
z
=
∞
X
n
=0
z
n
n
!
, J
0
(
z
) =
∞
X
j
=0
(
−
1)
j
(
z/
2)
2
j
j
!
j
!
,
запишем разложение подынтегральной функции в ряд по
z
1
и
z
3
.
Имеем
Φ(
z
1
, z
2
, z
3
;
s
2
, s
3
) =
=
∞
X
α
1
=0
μ
α
1
z
α
1
1
α
1
!
α
1
!
∞
X
α
3
=0
z
α
3
3
α
3
!
∞
Z
0
x
α
1
e
−
μx
+
z
2
(
e
−
x
(
s
2
−
1)+
x
(
s
3
−
1)+1)
×
×
h
μ
+
z
2
(
e
−
x
((
s
2
−
1) + (
x
−
1)(
s
3
−
1)))(
e
−
x
(
s
3
−
1) + 1)
α
3
+
+
α
3
(
e
−
x
(
s
3
−
1))(
e
−
x
(
s
3
−
1) + 1)
α
3
−
1
i
dx.
Далее
,
разбивая интеграл на сумму двух интегралов соответственно
слагаемым
,
стоящим в квадратных скобках
,
и производя интегрирова
-
ние по частям во втором интеграле
,
получаем
Φ(
z
1
, z
2
, z
3
;
s
2
, s
3
) =
∞
X
α
1
,α
3
=0
z
α
1
1
z
α
3
3
μ
α
1
α
1
!(
α
1
−
1)!
α
3
!
×
×
∞
Z
0
x
α
1
−
1
e
−
μx
+
z
2
(
e
−
x
(
s
2
−
1)+
x
(
s
3
−
1)+1)
(
e
−
x
(
s
3
−
1) + 1)
α
3
dx.
Представляя экспоненту под интегралом в виде ряда по
z
2
,
получаем
утверждение теоремы
.
Теорема доказана
.
З а м е ч а н и е
.
При начальном состоянии процесса
(
α
1
,
0
, α
3
)
име
-
ем марковский процесс эпидемии Вейса со схемой взаимодействий
[3]
T
1
+
T
3
→
T
1
, T
1
→
0
.
Соответственно
,
при
α
2
= 0
выражение
(11)
совпадает с производящей
функцией финальных вероятностей процесса эпидемии Вейса
[5].
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
83
