уравнение
(1).
Определим финальные вероятности для поглощающих
состояний
(0
, γ
2
, γ
3
)
, γ
2
, γ
3
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
q
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(0
,γ
2
,γ
3
)
= lim
t
→∞
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(0
,γ
2
,γ
3
)
(
t
)
,
∞
X
γ
2
,γ
3
=0
q
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(0
,γ
2
,γ
3
)
= 1
.
Для финальных вероятностей в
[2]
получено соотношение
α
2
X
γ
2
=0
α
2
−
γ
2
X
γ
3
=0
q
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(0
,γ
2
,γ
3
)
s
γ
2
2
s
γ
3
3
=
α
2
X
γ
2
=0
μ
α
1
(
γ
2
+
μ
)
γ
2
+
α
1
α
2
!
(
α
2
−
γ
2
)
s
3
−
1
γ
2
×
×
γ
2
X
l
0
=0
l
0
X
l
1
=0
. . .
l
α
1
−
2
X
l
α
1
−
1
=0
(
γ
2
+
μ
)
s
2
−
1
s
3
−
1
l
α
1
−
1
l
α
1
−
1
.
Однако это выражение малопригодно для исследования асимптотиче
-
ских свойств рассматриваемого марковского процесса
.
В настоящей работе процесс
ξ
(
t
)
исследуется предложенным в ра
-
ботах
[4, 5]
методом экспоненциальной производящей функции
.
По
-
лучены интегральное представление для производящей функции фи
-
нальных вероятностей
,
асимптотики для математического ожидания и
дисперсии финального распределения при
α
2
→ ∞
и предельные те
-
оремы
.
Такие теоремы
“
порогового
”
типа позволяют определить поро
-
говую численность инфицированных особей
,
при превышении которой
принято говорить о начале эпидемии
[2, 6].
Согласно работе
[2]
иссле
-
дован случай
λ
1
=
λ
2
= 1
, λ
3
=
μ,
случай
λ
1
6
=
λ
2
будет рассмотрен в
работе
,
готовящейся к печати
.
Стационарное первое уравнение Колмогорова
.
Вводим произво
-
дящую функцию финальных вероятностей
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
s
2
, s
3
) =
∞
X
γ
2
,γ
3
=0
q
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(0
,γ
2
,γ
3
)
s
γ
2
2
s
γ
3
3
,
|
s
2
| ≤
1
,
|
s
3
| ≤
1
,
и двойную производящую функцию
Φ(
z
1
, z
2
, z
3
;
s
2
, s
3
) =
∞
X
α
1
,α
2
,α
3
=0
z
α
1
1
z
α
2
2
z
α
3
3
α
1
!
α
2
!
α
3
!
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
s
2
, s
3
)
.
Аналитичность функции
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
s
2
, s
3
)
при
|
s
2
|
<
1
,
|
s
3
|
<
1
устанавливаем
,
исходя из неравенства
|
Φ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
s
2
, s
3
)
| ≤
1
в рассма
-
триваемой области
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
77
