уравнений вида
(4)
не являются целью настоящей работы
,
отметим
лишь
,
что они сложны и мало изучены
.
Замена переменных
.
Функция Римана
.
Поставленная задача ре
-
шения уравнения
(4)
с тремя переменными и условиями
(5)
сводится к
граничной задаче решения гиперболического уравнения с двумя пере
-
менными
.
Рассмотрим замену переменной
x
=
z
1
, y
=
e
−
z
3
/z
2
, ζ
=
z
2
e
z
3
/z
2
.
Тогда
z
1
=
x, z
2
=
ζy, z
3
=
−
ζy
ln
y.
После вычислений получим
уравнение в частных производных для функции
e
Φ(
x, y
) = Φ(
x, ζy,
−
ζy
ln
y
;
s
2
, s
3
)
:
e
Φ
xy
+
μ
y
+
ζ
ln
y
e
Φ
x
−
μ
y
e
Φ = 0
,
(6)
c
условиями
e
Φ(
x,
0) =
e
x
,
e
Φ(0
, y
) =
e
ζy
(
s
2
−
s
3
ln
y
)
.
Запишем уравнение
(6)
в виде
∂
∂x
e
Φ
y
+
μ
y
+
ζ
ln
y
e
Φ
−
μ
y
e
Φ = 0
.
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными
e
Φ
y
+
μ
y
+
ζ
ln
y
e
Φ = 0
,
приходим к замене
e
Φ(
x, y
) =
u
(
x, y
)
y
−
μ
e
−
yζ
(ln
y
−
1)
.
Подставляя послед
-
нее выражение в уравнение
(6),
получаем для функции
u
(
x, y
)
уравне
-
ние
u
xy
−
μ
y
u
= 0
(7)
с граничными условиями
u
(
x,
0) = 0
, u
(0
, y
) =
y
μ
e
yζ
((
s
2
−
1)
−
(
s
3
−
1) ln
y
)
.
(8)
Полученная задача Гурса
(7),(8)
решается методом Римана
[7, 8].
В общем случае для гиперболического уравнения
L
(
u
) =
u
xy
+
+
au
x
+
bu
y
+
cu
= 0
решение граничной задачи
u
(
x, y
0
)=
φ
(
x
)
,
u
(
x
0
, y
) =
ψ
(
y
)
,
φ
(
x
0
) =
ψ
(
y
0
)
,
дается формулой
[7]
u
(
x, y
) =
R
(
x, y
0
;
x, y
)
φ
(
x
)+
R
(
x
0
, y
;
x, y
)
ψ
(
y
)
−
R
(
x
0
, y
0
;
x, y
)
φ
(
x
0
)+
+
Z
x
x
0
h
b
(
t, y
0
)
R
(
t, y
0
;
x, y
)
−
∂
∂t
R
(
t, y
0
;
x, y
)
i
φ
(
t
)
dt
+
+
Z
y
y
0
h
a
(
x
0
, t
)
R
(
x
0
, t
;
x, y
)
−
∂
∂t
R
(
x
0
, t
;
x, y
)
i
ψ
(
t
)
dt,
(9)
где
R
(
x
0
, y
0
;
x, y
)
—
функция Римана
.
По определению функция
P
има
-
на
R
(
x
0
, y
0
;
x, y
)
является решением сопряженного уравнения
L
(
u
) =
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
79
