λ
1
>
0
,
lim
k
→∞
λ
k
= +
∞
,
а собственные функции
f
k
(
x
)
, k
= 1
,
2
, . . .
,
удовлетворяют
(
при подходящей нормировке
)
условию
b
Z
a
f
i
(
x
)
f
j
(
x
)
p
(
x
)
dx
=
δ
ij
, i, j
∈ {
1
,
2
, . . .
}
.
Функции
f
k
(
x
)
обращаются в нуль на интервале
(
a
;
b
)
ровно
k
−
1
раз
.
В частности
,
f
1
(
x
)
6
= 0
при
x
∈
(
a
;
b
)
.
Рассмотрим бесконечную
(
в обе стороны
)
струну с плотностью
p
(
x
)
,
x
∈
R
;
функцию
p
(
x
)
полагаем непрерывной положительной
.
Для любых точек
a
,
b
,
a < b
,
рассмотрим задачу
(1).
Обозначим ее соб
-
ственные значения через
λ
k
(
a, b
)
, k
= 1
,
2
, . . .
.
Рассмотрим величину
λ
1
(
a, b
)
как функцию точек
a
и
b
.
Отметим ее свойства
(
они следуют из
общих фактов
,
изложенных
,
например
,
в работах
[1, 2]):
1)
для фиксированной точки
a
∈
R
функция
λ
1
(
a, b
)
от
b
∈
(
a
; +
∞
)
строго убывает
,
и
,
следовательно
,
существует неотрицательный предел
lim
b
→
+
∞
λ
1
(
a, b
)
,
который обозначим через
λ
1
(
a,
∞
)
;
2)
функция
λ
1
(
a,
∞
)
от
a
является неубывающей
;
3)
lim
b
→
a
+0
λ
1
(
a, b
) = +
∞
.
Функция смещения
.
Постановка задачи
.
Рассмотрим струну с
плотностью
p
(
x
)
,
x
∈
R
,
и отрезки
[
a
;
b
]
,
такие что
λ
1
(
a, b
) = 1
.
(2)
Из свойств
1)–3)
вытекает
,
что для каждой точки
a
∈
R
существует
одна
,
и не более того
,
точка
b > a
со свойством
(2).
Кроме того
,
точки
a
∈
R
,
для которых существует такая точка
b
,
образуют множество ви
-
да
(
−∞
;
a
0
)
,
где
a
0
6
+
∞
.
Любой отрезок
[
a
;
b
]
со свойством
(2)
можно
представить в виде
[
a
;
a
+
ρ
(
a
)]
,
a < a
0
,
ρ
(
a
)
>
0
.
Функцию
ρ
(
a
)
назо
-
вем
функцией смещения
,
а точку
a
+
ρ
(
a
)
—
сопряженной
точке
a.
Итак
,
любой положительной непрерывной функции
p
(
x
)
(
плотно
-
сти струны
),
x
∈
R
,
поставим в соответствие функцию
ρ
(
a
)
,
a < a
0
.
Переформулируем задачу в терминах функции смещения
.
1.
Имея
ρ
(
a
)
,
a < a
0
,
необходимо определить соответствующую
плотность
p
(
x
)
,
x
∈
R
.
Требуется выяснить
,
в частности
,
восстанавли
-
вается ли плотность однозначно по данной функции смещения
ρ
(
a
)
.
Далее покажем
,
что ответ отрицателен
.
2.
Необходимо найти все струны
(
т
.
е
.
их плотности
p
(
x
)
),
для кото
-
рых функция смещения постоянна
.
Полярное представление решения дифференциального уравне
-
ния
y
00
+
p
(
t
)
y
= 0
(
представление Боля
).
Рассмотрим обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка
12
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
