y
00
+
p
(
t
)
y
= 0
,
(3)
где
t
∈
R
,
p
(
t
)
—
положительная непрерывная функция
.
Пусть
(
u
(
t
);
v
(
t
))
т
—
некоторая фундаментальная система решений уравне
-
ния
(3).
Несложно показать
,
что вронскиан этой фундаментальной си
-
стемы решений
,
т
.
е
.
функция
w
(
t
) =
u
(
t
)
v
0
(
t
)
−
u
0
(
t
)
v
(
t
)
,
постоянен
и отличен от нуля для всех
t
.
Зафиксируем такую фундаментальную
систему решений
,
что
w
(
t
)
≡
1
при
t
∈
R.
Получим кривую
,
параме
-
трически заданную на плоскости
x, y
уравнениями
x
=
u
(
t
)
,
y
=
v
(
t
)
,
где
t
∈
R
.
Эта кривая не проходит через точку
(0; 0)
и
,
следовательно
,
может быть задана уравнениями в полярных координатах
(
r
(
t
) ;
ϕ
(
t
))
.
Тогда
u
(
t
) =
r
(
t
) cos
ϕ
(
t
)
,
v
(
t
) =
r
(
t
) sin
ϕ
(
t
)
.
(4)
Подставим уравнения
(4)
во вронскиан
w
(
t
) =
u
(
t
)
v
0
(
t
)
−
u
0
(
t
)
v
(
t
)
и выразим производную полярного угла через полярный радиус
:
ϕ
0
=
1
r
2
.
(5)
Из последнего соотношения следует два важных вывода
:
а
)
функция
ϕ
(
t
)
строго возрастает при всех
t
;
б
)
функция
r
(
t
)
ни при каких
t
не обращается в нуль
.
Из пункта б
)
следует
,
что нули функций
u
(
t
)
и
v
(
t
)
определяются
полностью только функцией
ϕ
(
t
)
.
С учетом равенства
(5)
рассматриваемую фундаментальную систе
-
му решений уравнения представим в виде
u
(
t
) =
1
p
ϕ
0
(
t
)
cos
ϕ
(
t
)
,
v
(
t
) =
1
p
ϕ
0
(
t
)
sin
ϕ
(
t
)
,
т
.
е
.
в виде формул Боля
[3].
Любое частное решение
y
(
t
)
представляет
-
ся линейной комбинацией функций из фундаментальной системы ре
-
шений и
,
следовательно
,
имеет вид
y
(
t
) =
A
p
ϕ
0
(
t
)
sin(
ϕ
(
t
) +
B
)
,
(6)
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
13
