длины
c
такой струны
,
жестко закрепленного в обоих концах
,
долж
-
ны иметь одинаковую минимальную частоту
(
основной тон
).
Введем
дополнительное ограничение
:
ни в одном из концов этого отрезка не
должно быть груза
.
Решение задачи существует
.
Приведем пример одного из таких распределений
.
Обоснование его
будет приведено далее
.
Зафиксируем отрезок
[0;
c
]
и произвольное чи
-
сло
0
< ξ < c/
4
.
На этом отрезке в точках
x
1
=
ξ, x
2
=
c
2
, x
3
=
c
−
ξ
поместим грузы массами
m
1
=
m
3
=
1
c
2
−
ξ
, m
2
=
c
−
4
ξ
³
c
2
−
ξ
´
2
,
а затем
,
разделив всю числовую прямую на отрезки длины
c
,
аналогич
-
ным образом разместим на каждом из них такие же массы
.
Вид такой
струны представлен на рис
. 2.
Приведем строгое описание указанной механической системы
.
Пе
-
ренесем на систему
“
бусин
”
понятия
,
введенные ранее для непрерыв
-
ной струны
.
Роль плотности играет обобщенная функция вида
p
(
x
) =
X
k
m
k
δ
(
x
−
x
k
)
,
(12)
где
m
k
>
0
—
масса расположенного в точке
x
k
груза
(“
бусинки
”).
Итак
,
необходимо найти две последовательности чисел
{
x
k
}
и
{
m
k
}
.
Задачу будем решать следующим методом
.
Рассмотрим уравнение
y
00
+
p
(
x
)
y
= 0
,
(13)
где
p
(
x
)
имеет вид
(12).
Его решением назовем такую непрерывную и
кусочно гладкую функцию
y
(
x
)
,
которая будет удовлетворять ему как
обобщенная функция
.
Рис
. 2.
Пример распределения грузов
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
17
