УДК
517.926.4
П
.
А
.
Б е л о у с о в
ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССА НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИСКРЕТНЫХ СТРУН СО СВОЙСТВОМ
ПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ СМЕЩЕНИЯ
Разработана теория построения функции линейной плотности
струны
,
обладающей свойством сохранения основного тона коле
-
баний любого ее отрезка фиксированной длины
.
Рассмотрен случай
,
когда струна заменяется набором материальных точек на невесо
-
мой упругой нити
,
и построен пример дискретного распределения
масс в струне
.
Рассмотрим бесконечную
(
в обе стороны
)
струну
.
Она характеризу
-
ется линейной плотностью
(
однородности не предполагается
)
и силой
натяжения
.
Для упрощения считаем
,
что эта сила равна единице
.
Вы
-
режем из струны
(
мысленно
)
любой отрезок конечной длины и закре
-
пим его концы
.
Этой конечной струне соответствует спектр частот соб
-
ственных колебаний
.
Практический интерес представляет наименьшая
частота
.
Напомним
,
что именно она определяет высоту звука
,
издавае
-
мого струной
.
Рассмотрим различные отрезки с фиксированным значе
-
нием наименьшей частоты
,
которое положим равным единице
.
Изучим
следующие вопросы
.
1.
Предположим
,
что плотность струны неизвестна
,
но известны все
отрезки с указанным свойством
(
наименьшая частота равна единице
).
Можно ли по этому семейству отрезков однозначно восстановить не
-
известную плотность
?
Далее будет показано
,
что ответ на этот вопрос
отрицателен
.
2.
Как описать бесконечные струны
,
для которых все отрезки с ука
-
занным свойством имеют одинаковую длину
?
Далее приведем способ
нахождения таких плотностей и покажем
,
что они представляют собой
периодические функции
.
3.
Те же вопросы поставим в случае
,
когда струна заменяется набо
-
ром материальных точек
(“
бусинок
”)
на невесомой упругой нити
.
По
-
строим семейство цепочек с указанным свойством
.
Общие сведения
.
Собственные колебания струны
,
закрепленной в
точках с координатами
a
,
b
,
a < b
,
описываются спектральной задачей
y
00
+
λp
(
x
)
y
= 0
,
y
(
a
) =
y
(
b
) = 0
.
(1)
Полагаем
,
что сила натяжения струны равна единице
.
Тогда
p
(
x
)
—
линейная плотность
.
Спектр задачи
(1)
состоит из чисел
λ
1
< λ
2
< . . . ,
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
11
