где
A
и
B
—
постоянные
.
Наконец
,
выразим функцию
p
(
t
)
через
ϕ
(
t
)
.
Для этого воспользуем
-
ся равенством
(6)
и тем
,
что
p
(
t
) =
−
u
00
(
t
)
u
(
t
)
.
Введем обозначение
ϕ
0
=
θ
и непосредственным подсчетом убедим
-
ся
,
что
p
(
t
) =
θ
(
t
)
2
−
3
4
µ
θ
0
(
t
)
θ
(
t
)
¶
2
+
1
2
θ
00
(
t
)
θ
(
t
)
.
(7)
Выразим также
p
(
t
)
через функцию
ω
(
t
) =
1
θ
(
t
)
=
r
2
(
t
) =
u
2
(
t
) +
v
2
(
t
)
,
получим
p
(
t
) =
1
ω
2
(
t
)
+
1
4
µ
ω
0
(
t
)
ω
(
t
)
¶
2
−
1
2
ω
00
(
t
)
ω
(
t
)
.
(8)
Рассмотрим простой пример
.
Пусть
p
(
t
)
≡
0
.
В этом случае любая
фундаментальная система решений со вронскианом
,
равным единице
,
имеет вид
u
(
t
) =
a
1
t
+
b
1
,
v
(
t
) =
a
2
t
+
b
2
,
b
1
a
2
−
b
2
a
1
= 1
.
Таким образом
,
ω
(
t
) =(
a
1
t
+
b
1
)
2
+(
a
2
t
+
b
2
)
2
.
(9)
Нетрудно показать
,
что последнюю функцию можно представить в
виде
ω
(
t
) =
A
(
t
+
B
)
2
+
1
A
, A >
0
.
(10)
Верно и обратное
:
любая функция вида
(10)
представима в виде
(9).
Связь функции смещения и угловой координаты
.
Найдем явную
связь между функцией смещения
ρ
(
x
)
и угловой координатой
ϕ
(
x
)
в
полярном представлении решения уравнения
(3).
Рассмотрим частное
решение
y
(
x
)
уравнения из задачи
(1)
при
λ
= 1
,
записанное в виде
(6).
Решение
,
обращающееся в нуль в точке
a
,
имеет вид
(
с точностью до
ненулевого множителя
)
y
(
x
) =
r
(
x
) sin(
ϕ
(
x
)
−
ϕ
(
a
))
.
14
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
