Используя функции
ω
(
x
)
,
представим равенства
(16)
и
(17)
в следу
-
ющем виде
:
A
k
(
x
k
+
B
k
)
2
+
1
A
k
=
A
k
+1
(
x
k
+
B
k
+1
)
2
+
1
A
k
+1
, k
= 1
, n,
(18)
m
k
=
A
k
(
x
k
+
B
k
)
−
A
k
+1
(
x
k
+
B
k
+1
)
µ
A
k
(
x
k
+
B
k
)
2
+
1
A
k
¶
, k
= 1
, n.
(19)
Будем рассматривать только периодические распределения точеч
-
ных масс
.
Это означает
,
что можно ограничиться описанием размеще
-
ния
n
“
бусин
”
на отрезке
[0;
c
]
.
Условимся
,
что ни в точке
0
,
ни в точке
c
“
бусин
”
нет
(
так как в противном случае достаточно было бы про
-
сто сдвинуть начало отсчета так
,
чтобы это условие удовлетворялось
).
Итак
,
набор
“
бусин
”
определяется точками
{
x
k
}
n
k
=1
,
x
0
< x
1
< . . . ,
и
числами
A
k
>
0
и
B
k
,
соответствующими условиям
(18),
а также усло
-
вию положительности правой части равенства
(19)
для всех
k.
Массы
{
m
k
}
n
k
=1
определяются по формуле
(19).
Наконец
,
решение
(
в терминах обобщенных функций
)
уравнения
(3),
в котором
p
(
x
)
имеет вид
(12),
выражается по формуле
(14)
и связано с
функцией
ω
(
x
)
аналогично тому
,
как это имело место в случае непре
-
рывной функции плотности
.
Таким образом
,
задача нахождения распределения
“
бусин
”
с необ
-
ходимыми свойствами свелась к нахождению коэффициентов
A
k
и
B
k
в представлении
(15).
Обеспечение условия равенства основного тона на отрезках
длины
c
в дискретном случае
.
Рассмотрим
c
-
условия применительно
к дискретному случаю
.
Условие ее периодичности и положительности
уже установлено ранее
.
Третьим из
c
-
условий является применительно к
ω
(
x
)
следующее
:
c
Z
0
dt
ω
(
t
)
=
x
1
Z
0
dt
ω
1
(
t
)
+
. . .
+
x
k
Z
x
k
−
1
dt
ω
k
(
t
)
+
. . .
+
c
Z
x
n
dt
ω
n
+1
(
t
)
=
π.
(20)
Несложно убедиться в том
,
что с учетом вида функций
ω
k
(
x
)
справед
-
ливы равенства
x
k
Z
x
k
−
1
dt
ω
k
(
t
)
=
A
k
x
k
+
B
k
A
k
Z
A
k
x
k
−
1
+
B
k
A
k
ds
s
2
+ 1
=
arctg
(
s
)
¯ ¯ ¯
A
k
x
k
+
B
k
A
k
A
k
x
k
−
1
+
B
k
A
k
=
=
arctg
(
A
k
x
k
+
B
k
A
k
)
−
arctg
(
A
k
x
k
−
1
+
B
k
A
k
)
.
Подставляя это выражение для интеграла в условие
(20),
получим
общий вид интегрального ограничения
:
arctg
(
s
)
¯ ¯ ¯
A
1
x
1
+
B
1
A
1
B
1
A
1
+
. . .
+
arctg
(
s
)
¯ ¯ ¯
A
k
x
k
+
B
k
A
k
A
k
x
k
−
1
+
B
k
A
k
+
. . .
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
19
