Положим
θ
(
x
) =
ϕ
0
(
x
)
.
Тогда последнее уравнение равносильно то
-
му
,
что
θ
(
x
+
c
) =
θ
(
x
)
,
c
Z
0
θ
(
x
)
dx
=
π.
Ранее было установлено
,
что
θ
(
x
)
>
0
при всех
x.
Кроме того
,
функ
-
ция
p
(
x
)
,
определенная по формуле
(7),
должна быть положительной
.
Для того чтобы некоторая
C
2
-
гладкая функция
θ
(
x
)
была производ
-
ной угловой координаты при условии постоянства функции смещения
ρ
(
x
)
≡
c
,
необходимо и достаточно
,
чтобы для всех
x
она удовлетворя
-
ла следующим требованиям
:
1)
θ
(
x
+
c
) =
θ
(
x
)
,
2)
θ
(
x
)
>
0
,
3)
c
Z
0
θ
(
t
)
dt
=
π,
4)
θ
(
x
)
2
−
3
4
µ
θ
0
(
x
)
θ
(
x
)
¶
2
+
1
2
θ
00
(
x
)
θ
(
x
)
>
0
.
Назовем эти требования
с
-
требованиями
.
При удовлетворении этим
требованиям плотность струны выражается формулой
(7).
Разумеется
,
этим требованиям удовлетворяет функция
θ
(
x
) =
π/c
.
Соответствующая плотность
p
(
x
)
постоянна и равна
(
π/c
)
2
.
Далее
,
им
удовлетворяет любая из функций семейства
θ
(
x
) =
π
c
+
ε
sin
2
πnx
c
, n
∈
N,
если
ε
достаточно мало для того
,
чтобы требование
4)
было выполнено
.
Таким образом
,
набор отрезков со свойством постоянства основно
-
го тона не определяет однозначно функцию плотности
p
(
x
)
как в самом
простом случае постоянной
ρ
(
x
)
,
так и в более сложных случаях
.
Получено полное описание всех струн
(
плотностей
)
со свойством
постоянства основного тона
.
Как видим
,
все такие плотности являются
периодическими
.
Дискретное распределение масс в струне
.
Рассмотрим случай
,
ко
-
гда струну можно полагать невесомой
,
при этом в некоторых местах
к ней прикреплены грузы
(“
бусины
”)
существенной массы
,
но прене
-
брежимо малых размеров
.
Требуется найти такое распределение
“
бу
-
син
”
на струне
,
которое обеспечило бы выполнение следующего усло
-
вия
:
свободные колебания любого конечного отрезка фиксированной
16
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
