Опишем полумарковский процесс генерации заявок
.
Рассмотрим
полумарковский процесс
,
функционирующий на конечном множестве
состояний
—
фаз обслуживания
{
1
,
2
, . . . , m
}
,
m <
∞
,
и управляемый
стохастической матрицей переходных вероятностей
(
матрицей пере
-
ходных вероятностей вложенной цепиМаркова
)
M
= (
M
ij
)
, i, j
= 1
, m
,
с полумарковским ядром
B
(
x
) = (
B
ij
(
x
))
, i, j
= 1
, m
,
где
M
ij
—
веро
-
ятность перехода с
i
-
й фазы на
j
-
ю
,
а
B
ij
(
x
)
, i, j
= 1
, m
, —
условная
функция распределения времени генерации заявки на
i
-
й фазе при ус
-
ловии
,
что процесс генерации заявок перейдет с
i
-
й фазы на
j
-
ю
.
Далее
обозначим через
B
i
(
x
) =
m
P
j
=0
˜
B
ij
(
x
)
безусловную функцию распреде
-
ления времени пребывания процесса генерации заявок на
i
-
й фазе
,
где
˜
B
ij
(
x
) =
M
ij
B
ij
(
x
)
.
Будем полагать
,
что матрица
M
неразложима и непериодична
,
b
ij
=
∞
R
0
tdB
ij
(
t
)
<
∞
для любых
i, j
= 1
, m
.
Кроме того
,
для простоты
изложения будем предполагать
,
что для любых
i, j
= 1
, m
функция
распределения
B
ij
(
t
)
абсолютно непрерывна
.
Вектор стационарных
вероятностей цепи Маркова с матрицей переходных вероятностей
M
будем обозначать через
~π
a
.
Марковский процесс обслуживания заявок определяется следую
-
щим образом
.
Имеется марковский процесс с непрерывным временем
и конечным числом
l
состояний
(
фаз обслуживания
).
Тогда если в неко
-
торый момент в системе на обслуживании находится
k, k
≥
1
,
заявок и
фаза обслуживания
i
-
я
,
i
= 1
, l
,
то за
“
малое
”
время
∆
с вероятностью
λ
ij
∆ +
o
(∆)
фаза изменится на
j
-
ю
,
j
= 1
, l
,
и при этом заявка будет
продолжать обслуживаться
,
а с вероятностью
n
ij
∆ +
o
(∆)
фаза изме
-
нится на
j
-
ю
,
j
= 1
, l
,
но обслуживание заявки закончится
,
и она поки
-
нет систему
.
Матрицы из элементов
λ
ij
и
n
ij
будем обозначать через
Λ
и
N
;
введем матрицу
Λ
∗
= Λ +
N
,
причем матрицу
Λ
∗
будем полагать
неразложимой
,
а матрицу
N
—
ненулевой
.
Будем считать также
,
что на
свободном периоде фаза обслуживания не изменяется
.
Вектор стацио
-
нарных вероятностей марковского процесса обслуживания заявок
(
т
.
е
.
марковского процесса с инфинитиземальной матрицей
Λ
∗
)
будем обо
-
значать через
~π
s
.
Тогда стационарная интенсивность
µ
обслуживания
заявок имеет вид
µ
= (
~π
s
)
т
N ~
1
.
Заявки обслуживаются в порядке поступления
(
дисциплина
FCFS
).
Заявка
,
поступающая в систему
,
в которой уже находится
r
+ 1
заявок
(
одна на приборе и
r
в накопителе
),
теряется
.
Для
SM/MSP/
1
/r
далее получены стационарные распределения
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
61
