Приведем также развернутую запись СУР
:
~p
∗
1
т
=
∞
X
m
=1
~p
∗
m
т
A
∗
m
,
~p
∗
k
т
=
∞
X
m
=
k
−
1
~p
∗
m
т
A
m
−
k
+1
, k
≥
2
.
Введем векторы
~p
k
, k
≥
0
,
стационарных вероятностей состояний
по времени
.
Для
~p
k
справедливы формулы
~p
0
т
=
1
T
∞
X
m
=1
~p
∗
m
т
T
∗
m
,
~p
k
т
=
1
T
∞
X
m
=
k
~p
∗
m
т
T
∗
m
−
k
, k
≥
1
.
Также имеет место соотношение
∞
X
k
=1
~q
k
= (1
−
p
0
)
~π
s
,
причем
ρ
= (1
−
p
0
)
,
где
ρ
—
загрузка системы
.
Найдем искать решение СУР в виде
~p
∗
k
т
=
~p
∗
1
т
G
k
−
1
, k
≥
1
,
(9)
где
G
—
решение уравнения
,
G
=
∞
X
k
=0
G
k
A
k
= ˜
A
(
G
)
.
(10)
Лемма
.
Уравнение
(10)
при
ρ <
1
имеет единственное решение в
классе матриц
,
все собственные значения которых по модулю меньше
единицы
.
Это решение является матрицей
,
все элементы которой по
-
ложительны
,
и итерационная процедура
G
(
n
)
= ˜
A
(
G
(
n
−
1)
)
при
n
→ ∞
сходится к нему
,
если в качестве начальной итерации
G
(0)
выбрать лю
-
бую матрицу с собственными значениями
,
по модулю меньшими еди
-
ницы
.
Доказательство этой леммы приведено в работе
[5].
При численных расчетах в качестве
G
(0)
удобно выбрать нулевую
матрицу для монотонной сходимости последовательности
G
(
n
)
к
G
.
70
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
