При любом
~p
∗
1
последовательность векторов
~p
∗
k
,
задаваемых фор
-
мулой
(9),
где
G
—
решение уравнения
(10),
удовлетворяет всем урав
-
нениям
(4)–(6),
и
,
кроме того
,
поскольку все собственные значения ма
-
трицы
G
по модулю меньше единицы
,
имеем
∞
X
k
=1
Ã
d
X
i
=1
|
p
∗
ik
|
!
<
∞
.
(11)
Оставшийся неизвестным вектор
~p
∗
1
получим из первого уравнения
СУР
.
Перед этим подставим в уравнение
(10)
выражения для
A
k
из фор
-
мул
(1), (2).
Получаем
G
=
I
d
+
U
(
I
m
⊗
Λ) +
GU
(
I
m
⊗
N
)
,
(12)
где
U
=
∞
X
k
=0
G
k
T
k
.
Умножая обе части равенства
(12)
на
~
1
,
имеем
(
I
d
−
G
)
~
1 = (
I
d
−
G
)
U
(
I
m
⊗
N
)
~
1
.
Поскольку матрица
I
m
−
G
невырожденная
,
то последнее равенство
эквивалентно равенству
U
(
I
m
⊗
N
)
~
1 =
~
1
,
которое
,
в свою очередь
,
в силу неотрицательности элементов матрицы
UN
означает
,
что матрица
U
(
I
m
⊗
N
)
является стохастической
.
Уравнение
~p
∗
1
т
=
~p
∗
1
т
U
(
I
m
⊗
N
)
имеет единственное
,
с условием нормировки
,
решение
.
Условие нормировки легко приводится к виду
~p
∗
1
т
(
I
d
−
G
)
−
1
~
1 = 1
.
Для вектора
~p
−
k
, k
≥
0
,
стационарных вероятностей того
,
что в мо
-
мент поступления заявки в системе содержится
k
других заявок
,
полу
-
чим
~p
−
k
т
=
~p
∗
k
т
=
~p
∗
1
т
G
k
.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
71
