числа заявок в системе по моментам изменения состояний вложенной
цепи Маркова и по времени
,
а также стационарные распределения вре
-
мени ожидания начала обслуживания и времени пребывания заявки в
системе
.
C
истема
SM/MSP/
1
/r
является обобщением системы
G/MSP/
1
/r
(
r
≤ ∞
)
.
В работе
[1]
система
G/MSP/
1
/r
исследована
методом введения дополнительной переменной
,
и для конечного числа
мест ожидания
,
т
.
е
.
для
r <
∞
,
получено стационарное распределение
длины очереди
.
В работе
[2]
для
G/MSP/
1
/r
с помощью построения
вложенной цепи Маркова получены стационарные распределения чи
-
сла заявок в системе по моментам изменения состояний вложенной
цепи Маркова и по времени и времен ожидания начала обслуживания
и пребывания заявки в системе
.
Процедура вычисления экспоненциальных моментов подробно
описана в работе
[3]
для системы
MAP/G/
1
/r
,
которая является двой
-
ственной к системе
G/MSP/
1
/r
[3, 4].
Конечный накопитель
.
Рассмотрим последовательные моменты
τ
n
, n
>
0
,
поступления заявок в систему
.
Пусть
η
(
t
)
—
фаза
,
на которой находится полумарковский процесс
прихода заявок
,
ξ
(
t
)
—
фаза обслуживания заявок в момент времени
t
,
ν
(
t
)
—
число заявок в системе в этот момент
.
Определим случай
-
ные величины
η
n
=
η
(
τ
n
+ 0)
, ξ
n
=
ξ
(
τ
n
+ 0)
и
ν
n
=
ν
(
τ
n
+ 0)
,
соответствующие фазе прихода
,
фазе обслуживания и числу заявок
в системе непосредственно после момента поступления
n
-
й заявки
.
Кроме того
,
положим
ζ
n
= (
η
n
, ξ
n
, ν
n
)
.
Тогда последовательность
{
ζ
n
, n
≥
0
}
образует однородную цепь Маркова
,
которую будем назы
-
вать вложенной цепью Маркова
.
Очевидно
,
что
X
= (
i, j, k
)
, i
= 1
, m, j
= 1
, l, k
= 1
, R,
где
X
—
множество состояний вложенной цепи Маркова
;
индексы
i, j
и
k
соответствуют фазе прихода заявок
,
фазе обслуживания и числу за
-
явок в системе непосредственно после момента поступления заявок
.
Рассмотрим матрицу переходных вероятностей вложенной цепи
Маркова
{
ζ
n
, n
≥
0
}
.
Для этого определим следующие матрицы
.
F
k
(
x
)
—
матрица
,
элемент
(
F
k
(
x
))
ij
которой представляет собой условную
вероятность того
,
что за время
x
обслужится ровно
k
заявок и процесс
обслуживания перейдет на
j
-
ю фазу при условии
,
что в начальный
момент в системе число заявок превышает
k
(
вместе с заявками на
62
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
