Формулы
(1)–(5)
позволяют вычислять матрицы
F
k
1
, k
2
l
1
, l
2
(
x
)
и
F
∗
l
1
, l
2
(
x
)
рекуррентно
.
При этом сначала определяются матрицы
F
l
1
, l
2
l
1
, l
2
(
x
) =
e
Λ
x
,
затем матрицы
F
l
1
−
1
, l
2
n
1
, n
2
(
x
)
и
F
l
1
, l
2
−
1
l
1
, l
2
(
x
)
и т
.
д
.
и
,
наконец
,
матрицы
F
0
,
0
l
1
, l
2
(
x
)
и
F
∗
l
1
, l
2
(
x
)
.
Один из возможных алгоритмов вычисления этих и
других используемых в дальнейшем матриц более подробно описан в
работе
[9].
Вложенная цепь Маркова
.
Пусть
ξ
(
t
)
—
фаза генерации
,
η
(
t
)
—
фаза обслуживания
,
а
ν
1
(
t
)
и
ν
2
(
t
)
—
числа заявок соответственно пер
-
вого и второго типа в очереди в системе в момент
t
.
Рассмотрим последовательные моменты
τ
n
,
n
≥
0
,
поступления
заявок в систему
.
Определим случайные величины
ξ
n
=
ξ
(
τ
n
+ 0)
,
η
n
=
ξ
(
τ
n
+ 0)
,
ν
1
n
=
ν
1
(
τ
n
+ 0)
и
ν
2
n
=
ν
2
(
τ
n
+ 0)
,
которые представляют собой соот
-
ветственно фазу генерации
,
фазу обслуживания и числа заявок первого
и второго типов в очереди в системе непосредственно после момента
поступления
n
-
й заявки
.
Положим
ζ
n
= (
ξ
n
, η
n
, ν
1
n
, ν
2
n
)
.
Тогда после
-
довательность
{
ζ
n
, n
≥
0
}
образует однородную цепь Маркова
,
кото
-
рую будем называть вложенной
.
Очевидно
,
что множество состояний
X
вложенной цепи Маркова имеет вид
X
=
{
(
i, j, l
1
, l
2
)
, i
= 1
, l, j
= 1
, m,
0
≤
l
1
≤
n
1
,
0
≤
l
2
≤
n
2
}
,
где
i
,
j
,
l
1
и
l
2
—
соответственно фаза генерации
,
фаза обслуживания
и числа заявок первого и второго типа в очереди в системе непосред
-
ственно после момента поступления заявки
.
Далее каждой паре индексов
i, j
,
i
= 1
, l
,
j
= 1
, m
,
поставим в
соответствие один индекс
u
=
m
(
i
−
1)+
j
.
Тогда множество состояний
X
вложенной цепи Маркова можно представить в виде
X
=
{
(
u, n
1
, n
2
)
, u
= 1
, lm,
0
≤
l
1
≤
n
1
,
0
≤
l
2
≤
n
2
}
,
что позволит для упрощения записи пользоваться кронекеровым про
-
изведением матриц
.
Обозначим через
P
матрицу переходных вероятностей вложенной
цепи Маркова
{
ζ
n
, n
≥
0
}
.
Матрица
P
,
в свою очередь
,
состоит из
матриц
P
k
1
, k
2
n
1
, n
2
.
Элемент
(
P
k
1
, k
2
l
1
, l
2
)
u
1
u
2
матрицы
P
k
1
, k
2
l
1
, l
2
представляет собой
условную вероятность того
,
что после поступления очередной заявки
в системе в очереди будет находиться
k
1
и
k
2
заявок первого и второ
-
го типа соответственно
,
а фазы процессов генерации и обслуживания
будут
i
2
-
я и
j
2
-
я
,
при условии
,
что после поступления предыдущей за
-
явки в системе в очереди было
l
1
и
l
2
заявок первого и второго типа
,
а
процессы генерации и обслуживания находились на
i
1
-
й и
j
1
-
й фазах
.
96 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
1
