ν
2
(
t
)
, ξ
(
t
)
, η
(
t
))
,
описывающего функционирование рассматриваемой
системы во времени
.
Обозначим через
~P
0
(
x
)
вектор
,
координатами
¡
~P
0
(
x
)
¢
u
,
u
= 1
, lm
,
которого являются стационарные вероятности того
,
что система сво
-
бодна от заявок
,
фазы генерации и обслуживания
i
-
я и
j
-
я соответ
-
ственно
,
u
=
m
(
i
−
1) +
j
,
и время
,
прошедшее с момента поступ
-
ления последней заявки
,
меньше
x
;
а через
~P
k
1
, k
2
(
x
)
,
0
≤
k
1
≤
n
1
,
0
≤
k
2
≤
n
2
,
обозначим вектор с координатами
¡
~P
k
1
, k
2
(
x
)
¢
u
,
u
= 1
, lm
,
соответствующими стационарным вероятностям того
,
что прибор за
-
нят обслуживанием заявки
,
в очереди находится
k
1
и
k
2
заявок первого
и второго типа
,
фазы генерации и обслуживания
i
-
я и
j
-
я
,
u
=
m
(
i
−
1)+
+
j
,
и время
,
прошедшее с момента поступления последней заявки
,
меньше
x
.
Положим
~p
0
(
x
) =
~P
0
0
(
x
)
и
~p
k
1
, k
2
(
x
) =
~P
0
k
1
, k
2
(
x
)
.
Для того чтобы найти
~p
0
(
x
)
и
~p
k
1
, k
2
(
x
)
,
воспользуемся элементами
теории полумарковских процессов
.
Для этого сначала обратимся к по
-
лумарковскому процессу генерации заявок и положим
A
=
A
(
∞
)
.
Обо
-
значим через
~p
∗
вектор стационарных вероятностей состояний вложен
-
ной цепи Маркова полумарковского процесса генерации заявок
,
поро
-
жденной моментами изменения фаз генерации
.
Этот вектор определя
-
ется из системы уравнений равновесия
~p
∗
=
~p
∗
A
с условием нормировки
~p
∗
~
1 = 1
.
Тогда среднее время
a
между поступлениями заявок имеет в стацио
-
нарном режиме функционирования вид
a
=
~p
∗
A~
1
.
Наконец
,
обозначим через
A
(
d
)
(
x
)
диагональную матрицу с диаго
-
нальными элементами
¡
A
(
d
)
(
x
)
¢
ii
= 1
−
m
P
j
=1
A
ij
(
x
)
,
представляющими
собой вероятности того
,
что время между поступлениями соседних за
-
явок будет больше
x
,
при условии
,
что после поступления первой из
них фаза генерации
i
-
я
.
Заметим теперь
,
что в стационарном режиме функционирования в
некоторый момент времени
(
пусть это момент
0)
в системе отсутствуют
заявки и время
,
прошедшее с момента прихода последней заявки
,
равно
x
,
если последняя заявка поступила в момент
−
x
(
интенсивность по
-
ступления заявок равна
1
/a
),
то после ее прихода в системе оказалось
l
1
и
l
2
заявок первого и второго типа
(
с вероятностью
~π
l
1
, l
2
),
а за вре
-
мя
x
не поступало больше заявок
(
с вероятностью
A
(
d
)
(
x
)
),
и все нахо
-
дившиеся в системе заявки были обслужены
(
с вероятностью
F
∗
l
1
, l
2
(
x
)
).
102 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
1
