МАТЕМАТИКА
УДК
517.518.224
К
.
В
.
У с к о в
ПОПЕРЕЧНИКИ МНОЖЕСТВ
,
СВЯЗАННЫХ
С ПРОЦЕССОМ ЛЕВИ
Для любого натурального
m
найдена слабая асимптотика колмо
-
горовских поперечников множества
ϕ
(
K
m
)
,
где
ϕ
—
процесс Ле
-
ви
,
определенный в пространстве
R
m
(m-
параметрическое броунов
-
ское движение
), K
m
= [
0
,
1
]
m
—
единичный куб в
R
m
.
Рассмотрена
и сведена к исследованию системы нелинейных дифференциальных
уравнений второго порядка задача о точном значении поперечников
множества
ϕ
(
K
1
)
(
спираль Винера
).
Предложен алгоритм
,
позво
-
ляющий вычислять приближенные значения поперечников спирали
Винера
.
Постановка задачи
.
Напомним
,
что
n
-
м поперечником по Колмого
-
рову компакта
K
в гильбертовом пространстве
H
называется величина
[1, 2]
d
n
(
K
,
H
) =
inf
a
,
L
n
d
(
K
,
a
+
L
n
)
,
где
a
—
вектор из
H
;
L
n
—
подпространство размерности
n
в
H
;
d
(
K
,
a
+
+
L
n
)
—
отклонение компакта
K
от плоскости
a
+
L
n
:
d
(
K
,
a
+
L
n
) =
sup
x
∈
K
d
(
x
,
a
+
L
n
) =
sup
x
∈
K
inf
y
∈
L
n
|
x
−
(
a
+
y
)
|
.
В настоящей работе рассмотрим компакты
,
связанные с процессом
Леви
.
Известно
[3],
что для любого вещественного гильбертова про
-
странства
e
H
существуют вещественное гильбертово пространство и
отображение
ϕ
:
e
H
→
H
такие
,
что
|
ϕ
(
x
)
−
ϕ
(
y
)
|
2
=
|
x
−
y
|
,
x
,
y
∈
e
H
,
ϕ
(
0
e
H
) =
0
H
,
где
0
e
H
, 0
H
—
нулевые элементы соответствующих пространств
.
Ото
-
бражение
ϕ
называется процессом Леви
,
или многопараметрическим
броуновским движением
.
Непосредственно из определения следует
,
что ковариационная функция процесса Леви определяется равенством
(
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)) =
1
2
(
|
x
|
+
|
y
| − |
x
−
y
|
)
,
x
,
y
∈
e
H
.
(
1
)
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 73
