λ
k
1
Z
0
¡
f
0
k
(
x
)
¢
2
dx
=
1;
k
=
1
, . . . ,
n
.
(12)
Утверждение
.
Совмещение интегральных оценок поперечника
d
n
(
W
,
H
)
, n
≥
1
,
в классе мер вида
(7)
возможно тогда и только тогда
,
когда система
(9)–(12)
совместна и
,
кроме того
,
каждая из функций
f
k
, k
=
1
, . . . ,
n,
имеет ровно
k
нулей в интервале
(
0
,
1
)
.
При выполне
-
нии указанных условий искомая мера вида
(7)
и значение поперечника
d
n
(
W
,
H
)
определяются из равенств
p
=
n
∑
j
=
1
λ
j
(
f
0
j
)
2
1
+
n
∑
j
=
1
f
2
j
,
m
0
=
1
2
+
2
n
∑
j
=
1
f
2
j
(
0
)
,
m
1
=
1
2
+
2
n
∑
j
=
1
f
2
j
(
1
)
; (13)
d
n
(
W
,
H
) =
1
2
s
1
−
n
∑
j
=
1
λ
j
(
2
+
f
2
j
(
0
) +
f
2
j
(
1
))
.
(14)
Доказательство
. 1.
Изучим свойства собственных чисел и соб
-
ственных функций оператора
T
σ
,
заданного мерой
(7)
и отображением
ϕ
с ковариационной функцией
(5).
Из определения оператора
T
σ
для
любой функции
f
∈
L
2
([
0
,
1
])
,
σ
)
,
ортогональной тождественной еди
-
нице
,
имеем
(
T
σ
f
)(
x
) =
xm
1
f
(
1
)+
x
Z
0
y f
(
y
)
p
(
y
)
dy
+
x
1
Z
x
f
(
y
)
p
(
y
)
dy
+
τ
(
f
)
,
x
∈
[
0
,
1
]
,
где
τ
(
f
)
—
значение некоторого линейного функционала от
f
.
Приме
-
няя стандартное рассуждение
(
двукратное дифференцирование по
x
),
получаем
,
что уравнение
(
T
σ
f
)(
x
) =
λ
f
(
x
)
,
где
λ
∈
R
,
f
∈
L
2
([
0
,
1
]
,
σ
)
,
f
⊥
1
равносильно следующим условиям
:
λ
f
00
+
p f
=
0;
(15)
λ
f
0
(
0
) =
−
m
0
f
(
0
)
;
(16)
λ
f
0
(
1
) =
m
1
f
(
1
)
.
(17)
Из леммы
,
доказанной в приложении
1,
следует
,
что
k
-
му по величи
-
не собственному значению
λ
k
задачи
(15)–(17)
соответствует собствен
-
ная функция
f
k
,
имеющая ровно
k
нулей в интервале
(
0
,
1
)
.
Условие нор
-
мировки функции
f
k
в
L
2
([
0
,
1
]
,
σ
)
легко сводится к равенству
(12).
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 79
