Поперечники множеств, связанных с процессом Леви - page 10

где M = MN MN−1 . . . M1 . Из соотношения (24) и краевых условий (16),
(17) получаем уравнение для собственных значений оператора T σ:
λ2 M21 − λ(m0 M22 + m 1 M11 )+ m 0 m1 M12 = 0,
где Mi j = Mi j ( λ, m0 , m 1 , p1 , . . . , pN ), i, j = 1, 2, — элементы матрицы M .
Левую часть уравнения на собственные значения обозначим F σ( λ).
Для нахождения n наибольших нулей λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn функции F σ
(равных n наибольшим собственным значениям оператора T σ) пред -
лагается использовать следующий алгоритм. Для каждого k = 1, . . . , n
начиная с k = 1 вычисляются значения функции F σ на концах отрезка
[ λk−1 − ∆k j , λk−1 − ∆k ( j − 1)]. Вычисления начинаем при j = 1 и далее j
увеличиваем на единицу до тех пор, пока найденные значения функции
имеют одинаковый знак. Если знаки различны, то на полученном отрез-
ке функция имеет нуль, для нахождения которого применяется любой
стандартный метод, например метод секущих. Найденный нуль обозна-
чается λk , после чего значение k увеличивается на единицу и все шаги
повторяются.
Параметры λ0 и ∆k алгоритма определяются на основании свойств
собственных значений оператора T σ. Во-первых , из неравенств (2) и ра-
венства (8) очевидно , что собственные значения оператора не превос -
ходят 1/4, поэтому полагаем λ0 = 1/4. Во-вторых , из доказательства те -
оремы известно, что k-e собственное значение имеет порядок убывания
1/k2 при k → ∞ . Чтобы интервал перебора ∆k был одного порядка ма-
лости с искомыми нулями, полагаем ∆ k/∆k −1 = (k − 1)2 /k2 ∼ λk / λk−1 .
Величина ∆1 выбирается достаточно малой для того , чтобы ис -
ключить попадание двух (или большего числа) нулей функции F σ в
интервал длины ∆k при любом k = 1, . . . , n. Лемма, приведенная в при-
ложении 1, позволяет проверить правильность выбора ∆ 1 . Вычислив
значение λk , k = 1, . . . , n, следует восстановить соответствующую соб-
ственную функцию, и если эта функция имеет на интервале (0, 1) от-
личное от k количество нулей , необходимо уменьшить величину ∆ 1 .
Восстановить собственную функцию по значению λk позволяют соот-
ношения (23), краевое условие (16) и условие нормировки функции в
L2 ([0, 1], σ). Отметим также, что допустимое значение ∆1 зависит от но-
мера поперечника. К примеру, при n = 1 можно положить ∆1 = 5 · 10−2 ,
а при n = 3 использовать значение ∆1 = 5 · 10−3 .
Итак, для оператора T σ, заданного мерой вида (7), (21), имеем алго-
ритм вычисления n наибольших собственных значений λk =
= λk(m0 , m 1 , p1 , . . . , pN ), k = 1, . . . , n. Возвращаясь к задаче максими-
зации нижней интегральной оценки, выразим интегральное слагаемое
82 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. " Естественные науки". 2003. № 2