При
e
H
=
R
последнее равенство задает ковариационную функцию
стандартного броуновского движения
:
(
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)) =
min
(
x
,
y
)
,
x
,
y
≥
0.
Далее ограничимся рассмотрением процесса Леви с конечным чи
-
слом параметров
: dim
H
<
∞
,
и будем полагать
,
что
H
=
R
m
,
m
∈
N
.
Как
видно из определения
,
отображение
ϕ
непрерывно и
,
следовательно
,
переводит в компакт любое замкнутое ограниченное множество из
R
m
.
В данной работе получим оценки величин
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
,
где
K
m
= [
0
,
1
]
m
—
единичный куб в
R
m
.
Для решения поставленной задачи воспользуемся следующим об
-
щим утверждением
.
Пусть
K
1
—
произвольный компакт
,
H
—
веще
-
ственное гильбертово пространство
,
ϕ
:
K
1
→
H
—
любое непрерыв
-
ное отображение
,
K
=
ϕ
(
K
1
)
.
Рассмотрим на
K
1
положительную веро
-
ятностную меру
σ
и введем в
L
2
(
K
1
,
σ
)
линейный самосопряженный
оператор
(
T
σ
f
)(
x
) =
Z
K
1
(
ϕ
(
x
)
−
C
,
ϕ
(
y
)
−
C
)
f
(
y
)
d
σ
(
y
)
,
x
∈
K
1
,
C
=
Z
K
1
ϕ
(
x
)
d
σ
(
x
)
.
Пусть
λ
1
≥
λ
2
≥
. . .
—
отличные от нуля собственные числа этого
оператора
, a
f
1
,
f
2
, . . .
—
соответствующие собственные функции
,
ор
-
тонормированные в
L
2
(
K
1
,
σ
)
и ортогональные функции
1
,
тождествен
-
но равной единице на
K
1
.
Тогда
s
∞
∑
j
=
n
+
1
λ
j
≤
d
n
(
K
,
H
)
≤
s
max
x
∈
K
1
∞
∑
j
=
n
+
1
λ
j
f
2
j
(
x
)
,
n
≥
0
.
(
2
)
Данное утверждение доказано в работе
[8]
и является следствием инте
-
гральных неравенств
,
полученных в работе
[4]
для поперечников цен
-
тральносимметричного компакта
.
Слабая асимптотика поперечников
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
.
Через
A
m
,
B
m
обозначим следующие величины
,
зависящие только от натурального
параметра
m
:
A
m
=
µ
m
4
π
Γ
³
m
2
+
1
2
´ ¶
1
/
2
µ
Γ
³
m
2
+
1
´ ¶
−
(
m
+
1
)
/
2
m
,
B
m
µ
√
m
2
¶
1
/
2
,
m
∈
N
.
(3)
Теорема
.
Для произвольного
ε
>
0
начиная с некоторого
n
=
n
(
ε
)
выполнены неравенства
A
m
¡
1
−
ε
)
≤
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
¢
n
1
2
m
≤
B
m
(
1
+
ε
)
.
74 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
