Применив стандартную формулу суммирования
∞
∑
k
=
n
+
1
1
k
α
=
1
(
α
−
1
)
n
α
−
1
(
1
+
o
(
1
))
,
α
>
1
,
n
→
∞
,
к полученным выражениям для
λ
k
,
приходим к равенству
∞
∑
k
=
n
+
1
λ
k
=
(
γ
m
)
1
/
q
2
(
1
/
q
−
1
)
n
1
/
q
−
1
(
1
+
o
(
1
))
,
n
→
∞
.
П
o
д
c
т
a
н
o
вк
a
значений
γ
m
и
q
из формул
(4)
в последнее соотноше
-
ние приводит к искомой нижней оценке поперечников
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
.
2.
Оценим величину
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
сверху
.
Из определения попереч
-
ника ясно
,
что
n
-
й поперечник не превосходит отклонения компакта от
любого набора точек произвольной
n
-
мерной плоскости
.
Следователь
-
но
,
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
≤
d
(
ϕ
(
K
m
)
,
ϕ
(
G
))
,
где
G
—
произвольный набор из
n
+
1 (
или меньшего числа
)
точек куба
K
m
.
В качестве
G
возьмем рав
-
номерную сетку в
K
m
.
Для этого введем равномерную сетку на отрезке
[
0
,
1
]
:
G
1
=
½
k
N
−
1
¾
N
−
1
k
=
0
,
N
= [(
n
+
1
)
1
/
m
]
(
здесь
[
x
]
—
целая часть
x
),
и положим
G
=
G
m
1
.
Видно
,
что число эле
-
ментов
G
,
равное
N
m
,
не превосходит
n
+
1.
Теперь оценим расстояние между множествами
ϕ
(
K
m
)
и
ϕ
(
G
)
.
За
-
метим
,
что для любой точки
x
∈
[
0
,
1
]
m
найдется точка
y
∈
G
m
1
такая
,
что
|
x
−
y
| ≤
√
m
2
(
N
−
1
)
;
следовательно
,
d
2
(
ϕ
(
K
m
)
,
ϕ
(
G
)) =
max
x
∈
K
m
min
y
∈
G
|
ϕ
(
x
)
−
ϕ
(
y
)
|
2
=
max
x
∈
K
m
min
y
∈
G
|
x
−
y
| ≤
√
m
2
(
N
−
1
)
.
Поскольку
N
= [(
n
+
1
)
1
/
m
]
∼
n
1
/
m
при
n
→
∞
,
то из последнего неравен
-
ства следует искомая верхняя оценка величины
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
.
Теорема
доказана
.
Отметим
,
что строгая асимптотика поперечников
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
из
-
вестна только для случая
m
=
1,
когда соответствующим подбором ме
-
ры
σ
удается обеспечить
(
см
.
работу
[4,
теорема
3])
асимптотическое
равенство левой и правой частей
(2). B
работе
[4]
нижняя оценка найде
-
на с использованием меры
d
σ
(
x
) =
dx
и асимптотически равна
A
1
n
−
1
/
2
(
см
.
формулу
(3)).
Для построения верхней оценки использована мера
76 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
