d
σ
(
x
) =
p
(
x
)
dx
,
где
p
—
специально подобранная кусочно постоянная
функция
.
Из эквивалентности левой и правой частей
(2)
следует
d
n
(
ϕ
(
K
1
)
,
H
)
∼
A
1
n
−
1
/
2
=
1
π
√
n
.
Можно предположить
,
что при
m
>
1
строгая асимптотика величин
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
также определяется через постоянную
A
m
из левой части
неравенств
,
доказанных в теореме
.
На этом завершим рассмотрение многопараметрического броунов
-
ского движения и далее обратимся к задаче о точном значении попереч
-
ников множества
ϕ
(
K
1
)
.
О точном значении поперечников спирали Винера
.
Множество
ϕ
(
K
1
)
—
это кривая в гильбертовом пространстве
H
,
заданная своей
ковариационой функцией
(
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)) =
min
(
x
,
y
)
,
x
,
y
∈
[
0
,
1
]
.
(
5
)
Из равенства
(5)
следует
,
что для любых чисел
x
1
≤
x
2
≤
x
3
,
принад
-
лежащих отрезку
[
0
,
1
]
,
векторы
ϕ
(
x
3
)
−
ϕ
(
x
2
)
и
ϕ
(
x
2
)
−
ϕ
(
x
1
)
ортого
-
нальны в
H
.
Всякая кривая в гильбертовом пространстве
,
обладающая
подобным свойством
,
называется спиралью
.
По Колмогорову кривая
ϕ
(
K
1
)
называется спиралью Винера и обозначается
W
.
Далее получим
задачу о точном значении поперечников
d
n
(
W
,
H
)
.
Для решения этой задачи модифицируем подход
,
позволивший в ра
-
боте
[4]
получить строгую асимптотику поперечников
d
n
(
W
,
H
)
:
будем
подбирать меру
σ
так
,
чтобы интегральные неравенства
(2)
переходили
в равенство не асимптотически
,
а при каждом заданном
n
.
Будем гово
-
рить
,
что в этом случае имеет место
“
совмещение интегральных оценок
n
-
го поперечника
”.
Очевидно
,
что достаточным условием совмещения
оценок является условие
∞
∑
j
=
n
+
1
λ
j
f
2
j
(
x
) =
const
(
x
)
.
Используя разложение ядра линейного самосопряженного оператора
,
последнее условие можно представить в виде
|
ϕ
(
x
)
−
C
|
2
−
n
∑
j
=
1
λ
j
f
2
j
(
x
) =
const
(
x
)
.
(
6
)
Отметим
,
что константа в правой части двух последних равенств равна
квадрату
n
-
го поперечника
.
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 77
