2.
Преобразуем условие совмещения интегральных оценок
(6)
для
случая поперечника
d
n
(
W
,
H
)
и меры
σ
вида
(7).
Дважды дифференци
-
руя равенство
(6),
получаем
,
что оно равносильно условиям
p
=
n
∑
j
=
1
λ
j
(
f
0
j
)
2
+
n
∑
j
=
1
λ
j
f
j
f
00
j
;
(18)
m
0
=
1
2
+
n
∑
j
=
1
λ
j
f
j
(
0
)
f
0
j
(
0
)
;
(19)
m
1
=
1
2
−
n
∑
j
=
1
λ
j
f
j
(
1
)
f
0
j
(
1
)
.
(20)
Легко проверяется
,
что для решений
(
λ
k
,
f
k
)
,
k
=
1
, . . . ,
n
,
задачи
(15)–
(17)
полученные условия равносильны равенствам
(13).
3.
С учетом пп
. 1, 2
дальнейшее доказательство утверждения явля
-
ется очевидным
,
поэтому ограничимся выводом равенства
(14).
Напо
-
мним
,
что в случае выполнения условия
(6)
выражение
,
стоящее в пра
-
вой части этого равенства
,
является квадратом искомой величины по
-
перечника
.
Подставляя в условие
(6)
значения
x
=
0,
x
=
1
и интегрируя
обе части равенства по мере
σ
,
получаем
d
2
n
(
W
,
H
) =
|
C
|
2
−
n
∑
j
=
1
λ
j
f
2
j
(
0
)
;
d
2
n
(
W
,
H
) =
1
−
2
1
Z
0
x d
σ
(
x
)+
|
C
|
2
−
n
∑
j
=
1
λ
j
f
2
j
(
1
)
;
d
2
n
(
W
,
H
) =
1
Z
0
x d
σ
(
x
)
− |
C
|
2
−
n
∑
j
=
1
λ
j
.
Исключая из этих равенств интегралы и
|
C
|
2
,
получаем равенство
(14).
Утверждение доказано
.
Таким образом
,
задача о точном значении поперечников
d
n
(
W
,
H
)
сведена к исследованию системы уравнений
(9)–(12).
В случае
n
=
1,
решив данную систему
[8],
получим точное значение поперечника
d
1
(
W
,
H
)
:
d
1
(
W
,
H
) =
r
1
4
−
µ
2
,
µ
ln
1
+
2
µ
1
−
2
µ
=
1
.
Далее для значений
n
≥
2
опишем численный алгоритм
,
позволяю
-
щий получать приближенные значения поперечников
d
n
(
W
,
H
)
с задан
-
80 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
